Kommutatiivisuus

Kommutatiivisuus , kommutatiivinen laki ( myöhäinen latinalainen commutativus - muuttuva) - binäärioperaation " " ominaisuus, joka koostuu mahdollisuudesta järjestää argumentteja uudelleen: $\circ$

x\circ y=y\circ x

mille tahansa elementille .

x,\;y

Erityisesti, jos ryhmäoperaatio on kommutatiivinen, niin ryhmän sanotaan olevan Abelin . Jos kertolasku renkaassa on kommutatiivinen, niin renkaan sanotaan olevan kommutatiivinen.

Termin "kommutatiivisuus" otti käyttöön vuonna 1815 ranskalainen matemaatikko François Joseph Servois .

Esimerkkejä:

Reaalilukujen summa ja tulo ovat kommutatiivisia: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
konjunktio ja disjunktio ovat kommutatiivisia: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
liitto , leikkaus ja symmetrinen joukkoero ovat kommutatiivisia: $A \kuppi B = B \kuppi A; \quad A \cap B = B \cap A; \neliö A \isokolmio B = B \isokolmio A.$

Monet binäärioperaatiot ovat assosiatiivisia , mutta yleensä ei-kommutatiivisia, kuten esimerkiksi matriisikertolasku :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, mutta

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​= \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

ja merkkijonojen ketjutus :

"a" + "b" = "ab", mutta "b" + "a" = "ba".

Lisäksi kaikki kommutatiiviset operaatiot eivät ole assosiatiivisia (on kommutatiivisia magmoja , joissa on ei-assosiatiivinen operaatio).

Kommutatiivisuuden käsitteestä on olemassa useita yleistyksiä operaatioille, joissa on enemmän kuin kaksi argumenttia (erilaisia symmetrian muunnelmia).

Kommutatiiviset operaatiot muodostavat laajan kerroksen algebrallisia rakenteita , joilla on monia "hyviä" ominaisuuksia, jotka eivät ole luontaisia ei-kommutatiivisille rakenteille (esimerkiksi kommutatiiviset ryhmät verrattuna ei- Abelin rakenteisiin ), monilla matematiikan aloilla, ongelmien vähentämistä kommutatiivisiin rakenteisiin käytetään tutkitumpina ja kätevämpinä ominaisuuksina. Kommutatiivinen algebra on yleinen algebrallinen suunta, joka tutkii kommutatiivisten renkaiden ja niihin liittyvien kommutatiivisten objektien ( moduulit , ideaalit , jakajat , kentät ) ominaisuuksia.

Linkit

Kommutatiivisuus // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
Kommutatiivisuus - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . D. M. Smirnov