Eddington-Finkelsteinin koordinaatit

Eddington-Finkelstein- koordinaatit ovat Schwarzschild-metriikan (pallosymmetrinen musta aukko ) koordinaattijärjestelmäpari , joka on sovitettu nollageodeesiaan . Nollageodeettinen on fotonien maailmanviiva ; radiaaliset geodetiikka ovat niitä, joita pitkin fotonit kulkevat suoraan kohti keskusmassaa tai poispäin siitä. Tämä pariskunta on nimetty Arthur Stanley Eddingtonin [1] ja David Finkelsteinin [2] mukaan . Heidän uskotaan ehdottaneen ideaa, mutta kukaan heistä ei koskaan nimenomaisesti kirjoittanut näitä koordinaatteja tai mittareita. Vaikka Roger Penrose [3] oli ensimmäinen, joka kirjoitti sen muistiin, Finkelsteinin yllä mainitussa artikkelissa sekä Eddingtonin ja Finkelsteinin Adams-palkinnon esseessä tunnustetaan koordinaattien löytäminen myöhemmin samana vuonna. Vaikutusvaltaisimmat Charles Misner , Kip Thorne ja John Wheeler viittaavat näihin koordinaatteihin tällä nimellä kirjassaan Gravity [ 4 ] .

Näissä koordinaattijärjestelmissä säteittäiset valonsäteet, joista kukin noudattaa nollageodeesia liikkuessaan keskustasta tai kohti keskustaa, määrittävät vakion "ajan" pinnat, kun taas säteittäinen koordinaatti on tavallinen avaruuden koordinaatti, joten pinnat ovat poikittain. säteittäiseen koordinaattiin, niillä on pyörimissymmetria, jonka pinta-ala on 4π r 2 . Yksi tämän koordinaattijärjestelmän etu on, että se osoittaa, että Schwarzschildin säteen näennäinen piirre on vain koordinaattisingulariteetti , ei todellinen fyysinen singulaarisuus. Vaikka Finkelstein tunnusti tämän tosiasian, sitä ei tunnustanut (tai ei ainakaan kommentoinut) Eddington, jonka päätavoitteena oli verrata ja verrata pallosymmetrisiä ratkaisuja Whiteheadin painovoimateoriassa ja Einsteinin suhteellisuusteorian versiossa.

Schwarzschildin metriikka

Schwarzschildin koordinaatteja kutsutaan koordinaatteiksisiten, että näissä koordinaateissa Schwarzschildin metriikka kirjoitetaan seuraavasti: $(t,r,\theta ,\varphi )$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

missä

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

kaksiulotteisen pallon standardi Riemannin metriikka .

Tässä käytetään seuraavia sopimuksia: metrinen allekirjoitus (− + + +) ja luonnolliset yksiköt , jossa c = 1 on dimensioton valon nopeus, G on gravitaatiovakio ja M on Schwarzschildin geometrian ominaismassa.

Kilpikonnakoordinaatti

Eddington-Finkelstein-koordinaatit perustuvat kilpikonnakoordinaattiin [4] , joka tulee yhdestä Zenon paradokseista , jotka koskevat kuvitteellista kilpailua "nopeajalkaisen" Akhilleuksen ja kilpikonnan välillä .

Kilpikonnan koordinaatti määritellään seuraavasti [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

joka tyydyttää:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

Kilpikonnan koordinaatti lähestyy, kun se lähestyy Schwarzschildin sädettä . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ $2GM$

Kun mikä tahansa luotain (esimerkiksi valonsäde tai tarkkailija) lähestyy mustan aukon tapahtumahorisonttia, sen Schwarzschild-aikakoordinaatti kasvaa äärettömään. Nolla geodeettisilla viivoilla, jotka menevät äärettömyyteen tässä koordinaattijärjestelmässä, on ääretön muutos t :ssä, kun ne menevät horisontin ulkopuolelle. Kilpikonnakoordinaatti kasvaa äärettömästi sopivalla nopeudella ja eliminoi sen pohjalta rakennetuissa koordinaattijärjestelmissä yksittäiskäyttäytymisen.

Aikakoordinaatin kasvattaminen äärettömyyteen lähestyessäsi tapahtumahorisonttia on syy siihen, miksi tällaisen tapahtumahorisontin kautta lähetetyn koettimen tietoja ei voida palauttaa. Ja tämä huolimatta siitä, että luotain itse voi kuitenkin siirtyä horisontin ulkopuolelle. Tämä on myös syy siihen, miksi mustan aukon aika-avaruusmetriikka, joka ilmaistaan Schwarzschild-koordinaateilla, muuttuu horisontissa singulaariseksi - eikä sitä siten voida käyttää täydelliseen (koko avaruusalueen) kuvaan putoavan luotain radasta.

Metric

Kutistuva Eddington-Finkelstein-koordinaattijärjestelmä saadaan korvaamalla t -koordinaatti uudella koordinaatilla . Näissä koordinaateissa Schwarzschildin metriikka voidaan kirjoittaa muodossa [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

missä sen oletetaan

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

standardi Riemannin metriikka yksikkösäteen kaksiulotteisella pallolla.

Samoin laajeneva Eddington-Finkelstein-koordinaattijärjestelmä saadaan korvaamalla t uudella koordinaatilla . Sitten metriikka annetaan lausekkeella [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

Molemmissa koordinaattijärjestelmissä metriikalla ei selvästikään ole singulaarisuutta Schwarzschildin säteellä (vaikka yksi komponentti katoaisi tällä säteellä, metriikan determinantti ei silti katoa, eikä käänteismetriikassa ole myöskään poikkeavia termejä tässä kohdassa) . Laajeneva koordinaattijärjestelmä kuvaa hiukkasten irtoamista painovoimasäteen ulkopuolelta, mutta kun sitä yritetään käyttää hiukkasten putoamiseen gravitaatiosäteen sisällä, syntyy Schwarzschildin kaltainen singulaarisuus. Supistuvassa koordinaattijärjestelmässä gravitaatiosäteen sisällä saapuvilla hiukkasilla ei ole singulaarisuutta, mutta singulaarisuus syntyy, kun yritetään kuvata lähteviä hiukkasia gravitaatiosäteen ulkopuolella. Gravitaation romahtamisen kuvaamiseen käytetään kutistuvaa koordinaattijärjestelmää [7] .

Nollapinnoille v=const tai =const , tai vastaavasti =const tai u=const , käy ilmi, että dv/dr ja du/dr lähestyvät arvoa 0 ja ± 2 suurella r :llä ± 1:n sijaan, kuten voisi odottaa, jos pidämme u :ta tai v :tä "aikana". Eddington-Finkelstein-kaavioita rakennettaessa pinnat, joissa on vakio u tai v , piirretään yleensä kartioiksi ja vakiot u tai v -viivat piirretään 45 astetta vinoina, ei tasoina [8] . Jotkut lähteet käyttävät sen sijaan korvaamista , mikä vastaa tällaisten kaavioiden tasoja. Näissä koordinaateissa ( kohdassa ) metriikka muuttuu $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

josta tulee Minkowski suurelle r :lle . Eddington ja Finkelstein esittelivät nämä aikakoordinaatit ja mittarit kirjoissaan.

Eddington-Finkelsteinin koordinaatit ovat vielä epätäydellisiä ja niitä voidaan laajentaa. Esimerkiksi siirtyminen äärettömyyteen on aikakaltaista geodeettista, määritelty (oikealla ajalla ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}

v ( τ ) → −∞ on τ → 2 GM . Toisin sanoen tällä aikakaltaisella geodeesilla on äärellinen oikea pituus menneisyyteen, missä se poistuu horisontista ( r = 2 GM ) v lähestyessä . Alueet äärellisille v ja r < 2 GM ovat erilaisia kuin äärellisille u ja r < 2 GM . Horisontti , jossa r = 2 GM ja lopullinen v ( musta aukkohorisontti ), eroaa horisontista, jonka r = 2 GM ja lopullinen u ( valkoinen aukkohorisontti ). $-\infty$

Kruskal-Szekeres-koordinaattien metriikka kattaa koko laajennetun Schwarzschildin avaruus-ajan yhdessä koordinaattijärjestelmässä. Sen suurin haittapuoli on, että näissä koordinaateissa metriikka riippuu sekä ajallisista että spatiaalisista koordinaateista. Eddington-Finkelstein-koordinaatistossa, kuten Schwarzschildin koordinaateissa, metriikka ei riipu "ajasta" (joko t Schwarzschildissa tai u tai v erilaisissa Eddington-Finkelstein-koordinaatistoissa), mutta mikään niistä ei kata koko avaruutta -aika [7] .

Eddington-Finkelstein- koordinaateilla on joitain yhtäläisyyksiä Gullstrand-Painlevé koordinaattien kanssa siinä mielessä , että ne ovat molemmat ajasta riippumattomia ja tunkeutuvat (säännöllisesti) joko tulevaisuuden (musta aukko) tai menneisiin (valkoinen aukko) horisontteihin. Molemmat mittarit eivät ole diagonaalisia (vakion "ajan" hyperpinnat eivät ole ortogonaalisia vakion r hyperpintoihin nähden ). Jälkimmäisillä on tasainen spatiaalinen metriikka, kun taas edellisen spatiaaliset ('aikavakio) hyperpinnat ovat nollia ja niillä on sama metriikka kuin valokartio Minkowskin avaruudessa ( tasaisessa tila-ajassa). $t=\pm r$

Muistiinpanot

↑ Eddington A. S. (helmikuu 1924). “ Whiteheadin ja Einsteinin kaavojen vertailu ” (PDF) . Luonto . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 22.11.2021 . Haettu 26.06.2021 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ David Finkelstein (1958). " Pistehiukkasen gravitaatiokentän epäsymmetria menneisyydessä ja tulevaisuudessa " . Fyysinen arvostelu . 110 : 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). " Painovoiman romahdus ja aika-avaruuden singulariteetit " . Physical Review Letters . 14 (3):57-59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , s. 24.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , s. 25.
↑ Mizner, Thorne & Wheeler 1977 , s. 26.
↑ 1 2 Misner, Thorne ja Wheeler, 1977 , s. 27.
↑ Katso esimerkiksi Gravity laatikko 31.2.

Kirjallisuus

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - 510 s.