Numeeristen differentiaatiokaavojen kertoimet

Matematiikassa tietyn taulukkofunktion derivaattojen likimääräistä laskemista varten voidaan etsiä derivaattojen arvojen lauseketta funktion tunnettujen arvojen kautta käyttämällä sopivaa kerroinjoukkoa . Voit tehdä tämän käyttämällä erilaisia interpolointikaavoja tai määrittelemättömien kertoimien menetelmää .

Tasaiset solmut

Olkoon piste, jossa on tarpeen laskea riittävän tasaisen funktion derivaatat , olla tasaetäisyyden solmujen verkko, jossa on askel ja funktion arvot näissä solmuissa tunnetaan. Tässä tapauksessa on mahdollista ilmaista numeeriset differentiaatiokaavat suoraan funktioarvoina käyttämällä Lagrangen interpolointikaavaa . Tällaisia kaavoja kutsutaan myös ei-erotuskaavoiksi, koska ne eivät vaadi äärellisten tai jaettujen erojen laskemista [1] . $x_{0}$ $f$ $x_{k}=x_{0}+kh$ $h$ $f$ $f$

Riippuen pisteen sijainnista solmuruudukossa (vasen, oikea tai keskimmäinen) erotetaan "eteenpäin", "taaksepäin" ja symmetriset kertoimet lasketut kertoimet. $x_{0}$

Symmetrinen kertoimet

Symmetristen kertoimien saamiseksi ruudukon solmujen lukumäärän on oltava pariton. Tällöin approksimaatiovirheen järjestys on parillinen luku.

Johdannaisjärjestys	Virhejärjestys	−5	−4	−3	−2	−1	0	yksi	2	3	neljä	5
yksi	2					−1/2	0	1/2
	neljä				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	kahdeksan		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					yksi	−2	yksi
	neljä				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	kahdeksan		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	yksi	0	−1	1/2
	neljä			1/8	−1	13/8	0	−13/8	yksi	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
neljä	2				yksi	−4	6	−4	yksi
	neljä			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	neljä		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			yksi	−6	viisitoista	−20	viisitoista	−6	yksi
	neljä		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Esimerkiksi kolmas derivaatta, jossa on toisen asteen virhe, lasketaan seuraavasti

f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_ {+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right)~.

Kertoimet eteenpäin

Johdannaisjärjestys	Virhejärjestys	0	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan
yksi	yksi	−1	yksi
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	neljä	−25/12	neljä	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	yksi	yksi	−2	yksi
	2	2	−5	neljä	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	neljä	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	yksi	−1	3	−3	yksi
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	neljä	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
neljä	yksi	yksi	−4	6	−4	yksi
	2	3	−14	26	−24	yksitoista	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	neljä	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Esimerkiksi ensimmäinen derivaatta, jossa on kolmannen asteen virhe, ja toinen derivaatta, jossa on toisen asteen virhe, lasketaan seuraavasti

f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3} {2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~ ,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3} )}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.

On helppo nähdä, että ensimmäisen kertaluvun virheen kertoimet ovat binomiaalikertoimia, joissa on vaihtuvia etumerkkejä, mikä vastaa yleistä nousevien äärellisten erojen kaavaa .

Kertoimet takaisin

Kertoimien palauttamiseksi on tarpeen kääntää kertoimien etumerkit eteenpäin parittomien kertalukujen derivaattajille ja peilata kerrointaulukko oikealta vasemmalle:

Johdannaisjärjestys	Virhejärjestys	−5	−4	−3	−2	−1	0
yksi	yksi					−1	yksi
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	yksi				yksi	−2	yksi
2	2			−1	neljä	−5	2
3	yksi			−1	3	−3	yksi
3	2		3/2	−7	12	−9	5/2
neljä	yksi		yksi	−4	6	−4	yksi
neljä	2	−2	yksitoista	−24	26	−14	3

Esimerkiksi ensimmäinen derivaatta, jossa on kolmannen asteen virhe, ja toinen derivaatta, jossa on toisen asteen virhe, lasketaan seuraavasti

f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{ 2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3} )}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.

Satunnainen solmuverkko

Kertoimien saamiseksi mielivaltaisesti sijaitseville solmuille on kätevää käyttää epämääräisten kertoimien menetelmää [2] . Tätä varten kirjoitetaan järjestyksen halutun derivaatan arvo pisteessä muodossa ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N))$ $k$ $x_{j}$

f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,

missä

c_{i}

- tuntemattomat kertoimet,

R

on interpoloinnin loppuosa.

Kertoimet valitaan ehdoista , jotka on täytettävä funktioille , , ,..., . Osoittautuu seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä : $c_{i}$ $R(f)=0$ $yksi$ $x$ $x^{2}$ $x^N$

\left({\begin{array} \x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\lpisteet &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{ k}&\lpisteet &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\lpisteet &x_{N}^{k+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right )\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\ \\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k) +1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{Nk}\end{array}}\right)~.

Tässä tapauksessa laskentavirhe on suuruusluokkaa . $N-k+1$

Järjestelmän matriisi on Vandermonde-matriisi , joka syntyy myös ratkaistaessa yleistä polynomien interpolointiongelmaa .

Muistiinpanot

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 230.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 234.

Kirjallisuus

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - 2. painos -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Venäjän kieli)
Fornberg, B. Äärillisten erotuskaavojen luominen mielivaltaisesti sijoitetuille ruudukoille // Laskennan matematiikka. - 1988. -Voi. 51. -s. 699-706. -doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0.

Linkit

Kerroinlaskin mielivaltaisille solmuruudukoille (numeerisesti)

Katso myös

Rajallisen eron menetelmä