Mohrin ympyrä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. toukokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Mohrin ympyrä on professori Otto Mohrin (1835-1918) kehittämä graafinen esitys normaaleista jännityksistä ja leikkausjännityksistä . [1] .

Mohrin ympyrän avulla voidaan myös löytää päätasot ja pääjännitykset graafisessa esityksessä, ja tämä on yksi helpoimmista tavoista tehdä tämä. [2]

Historia

Ensimmäinen henkilö, joka loi graafisen jännitysesityksen taipuvan vaakasuuntaisen palkin pituus- ja poikittaisjännityksille, oli Karl Kuhlmann . Mohrin panos on käyttää tätä lähestymistapaa taso- ja bulkkijännitystiloissa ja määritellä jännitysympyrään perustuva lujuuskriteeri [ 3] .

Fyysinen merkitys

Sisäiset voimat syntyvät jatkuvan muotoaan muuttavan kappaleen hiukkasten väliin reaktiona ulkoisiin voimiin: pintaan ja tilavuuteen . Tämä reaktio on yhdenmukainen Newtonin toisen lain kanssa, jota sovelletaan aineellisten esineiden hiukkasiin. Näiden sisäisten voimien voimakkuuden suuruutta kutsutaan mekaaniseksi rasitukseksi . Koska kehoa pidetään kiinteänä, nämä sisäiset voimat jakautuvat jatkuvasti tarkasteltavan kohteen koko tilavuuteen.

Suunnittelussa jännitysjakauma esineessä määritetään analysoimalla sen jännitys-venymätila, jotta saadaan jännitysarvot jokaisessa esineen materiaalipisteessä. Cauchyn mukaan jännitys missä tahansa kiinteän materiaalikappaleen kohdassa määräytyy täysin jännitystensorin yhdeksän jännityskomponentin mukaan : $\sigma_{ij}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}& \sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left [{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]

Kun jännitysjakauma on määritetty koordinaattijärjestelmän suhteen , voi olla tarpeen määrittää jännitystensorin komponentit tietyssä materiaalipisteessä suhteessa pyörivään koordinaattijärjestelmään , eli jännitykset, jotka vaikuttavat kohtaan, jossa on erilainen suunnat, jotka kulkevat meille kiinnostavan pisteen kautta. Esimerkiksi voi olla tarpeen löytää suurin normaalijännitys tai suurin leikkausjännitys ja suunta, johon ne vaikuttavat. Tämän ongelman ratkaisemiseksi on välttämätöntä muuttaa jännitystensori. Tämän jännitystensorimuunnoksen graafinen esitys on Mohrin ympyrä. $(x,y)$ $P$ ${\näyttötyyli (x',y')}$

Mohrin ympyräyhtälöt

Mohrin ympyräyhtälön saamiseksi tasojännitystilalle otetaan huomioon kaksiulotteinen äärettömän pieni materiaalikappale, joka sijaitsee materiaalipisteen ympärillä , jonka pinta-ala on tason - suuntainen , eli kohtisuorassa katsojaan nähden. $P$ $y$ $z$

Äärettömän pienen materiaalikappaleen tasapainoolosuhteiden perusteella normaalijännityksen ja leikkausjännityksen arvot ovat yhtä suuret: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +{\frac {1}{2}}\tau _{xy}\sin 2\theta

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +{\frac { 1}{2}}\tau _{xy}\cos 2\theta

Nämä kaksi yhtälöä ovat Mohrin ympyrän parametrinen esitys .

Mohrin ympyrän parametristen yhtälöiden johtaminen

Tarkastellaan tasapainoehtoja kolmiomaiselle prismmalle, joka on muodostettu leikkaamalla perussuuntaissärmiö, jossa on kalteva alusta. Normaali stressi vaikuttaa alueen alueelle . Voimien projektioiden yhtäläisyydestä akselilla ( akseli ) saadaan: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $x'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _ {y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \ theta \cos \theta \\\end{aligned}}

Se tiedetään

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2)),\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\ theta }{2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Sitten voit saada

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta

Leikkausjännitys vaikuttaa myös kohtaan, jonka pinta-ala on . Voimien projektioiden yhtäläisyydestä akselilla ( akseli ) saadaan: ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $y'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{ y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}

On tiedossa, että

\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Sitten voit saada

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{ xy}\cos 2\theta

Muistiinpanot

↑ Keaton JR (2018) Mohr Circle. Julkaisussa: Bobrowsky PT, Marker B. (toim.) Encyclopedia of Engineering Geology. Encyclopedia of Earth Sciences -sarja. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73568-9_206
↑ Pääjännitys ja päätaso . www.engineeringapps.net . Haettu 25. joulukuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 25. joulukuuta 2019. (määrätön)
↑ Parry, Richard Hawley Grey. Mohrin ympyrät, jännityspolut ja geotekniikka . - 2. - Taylor & Francis , 2004. - S. 1-30. - ISBN 0-415-27297-1 .