Taivutus - materiaalien kestävyyden muodonmuutostyyppi , jossa suorien tankojen akselien kaarevuus tai kaarevien tankojen akselien kaarevuus muuttuu, keskipinnan kaarevuus / kaarevuus muuttuvat. lautanen tai kuori. Taivutus liittyy taivutusmomenttien esiintymiseen palkin tai vaipan poikkileikkauksissa. Palkin suora taivutus tapahtuu, kun taivutusmomenttitietyssä poikkileikkauksessa palkki toimii tasossa, joka kulkee tämän osan yhden päähitausakselin kautta. Siinä tapauksessa, että taivutusmomentin vaikutustaso palkin tietyssä poikkileikkauksessa ei kulje minkään tämän osan päähitausakselin läpi, taivutusta kutsutaan vinoksi .
Jos suoralla tai vinolla mutkalla vain taivutusmomentti vaikuttaa palkin poikkileikkaukseen, on kyseessä puhdas suora tai puhdas vino taivutus . Jos poikkileikkauksessa vaikuttaa myös poikittaisvoima, on olemassa poikittaissuora tai poikittaissuuntainen vino mutka .
Usein termiä "suora" ei käytetä suoran puhtaan ja suoran poikittaisen taivutuksen nimissä ja niitä kutsutaan vastaavasti puhtaaksi taivutukseksi ja poikittaistaivutukseksi.
Tämä teoria on pohjana palkkien ja kehysten analyyttisille laskelmille.
Pääoletuksista seuraa, että muodonmuutos jakautuu leikkauksen korkeudelle lineaarisen lain mukaan. Hooken lain mukaan
eli jännitykset jakautuvat myös lineaarisesti.
Palkin osassa (tasotapauksessa) syntyy taivutusmomentti , poikittaisvoima ja pituussuuntainen voima . Osaan vaikuttaa ulkoinen hajautettu kuorma .
Tarkastellaan kahta vierekkäistä osaa, jotka sijaitsevat etäisyyden päässä toisistaan. Epämuodostuneessa tilassa ne käännetään kulmassa toisiinsa nähden. Koska ylemmät kerrokset venytetään ja alemmat puristetaan, on selvää, että on olemassa neutraali kerros , joka pysyy venyttämättömänä. Se on korostettu kuvassa punaisella. Neutraalin kerroksen kaarevuussäteen muutos kirjoitetaan seuraavasti:
Etäisyydellä neutraalista akselista sijaitsevan segmentin AB pituuden lisäys ilmaistaan seuraavasti:
Eli muodonmuutos:
TehosuhteetJännite ( Hooken lain mukaan ):
Verrataan jännitys leikkauksessa esiintyviin voimatekijöihin. Aksiaalinen voima ilmaistaan seuraavasti:
Viimeisen lausekkeen integraali on leikkauksen staattinen momentti akselin ympäri . On tapana ottaa akseliksi osan keskiakseli siten, että
Siten ,. Taivutusmomentti ilmaistaan seuraavasti:
missä on leikkauksen hitausmomentti akselin ympäri .
Leikkauksen jännitykset voidaan myös vähentää hetkellisesti . Jotta näin ei tapahdu, seuraavan ehdon on täytyttävä:
eli keskipakohitausmomentin on oltava nolla ja akselin on oltava yksi leikkausleikkeen pääakseleista.
Siten palkin taivutetun akselin kaarevuus liittyy taivutusmomenttiin lausekkeella:
Jännitysten jakautuminen leikkauksen korkeudella ilmaistaan kaavalla:
Leikkauksen suurin jännitys ilmaistaan kaavalla:
missä on osan taivutuskestävyys, on palkin osan korkeus.
Yksinkertaisten osien (pyöreiden , suorakaiteen muotoisten) arvot lasketaan analyyttisesti. Pyöreälle osalle, jonka halkaisija on :
Suorakaiteen muotoiseen lohkon korkeuteen ja leveyteen
Monimutkaisemmille osille (esimerkiksi kanava , I-palkki ), joilla on standardoidut mitat, nämä arvot on annettu viitekirjallisuudessa.
Poikkileikkauksen taivutusmomentti voidaan saada leikkausmenetelmällä (jos palkki on staattisesti määrätty) tai voima/siirtymämenetelmillä.
Tärkeimmät taivutuksen aikana tapahtuvat siirtymät ovat akselin suuntaiset taipumat . Ne on yhdistettävä osan taivutusmomenttiin. Kirjoitetaan tarkka suhde, joka yhdistää taipumat ja kaarevan akselin kaarevuuden:
Koska taipumat ja kiertokulmat oletetaan pieniksi, arvo
on pieni. Näin ollen
tarkoittaa,
Kirjoitetaan tasapainoyhtälö akselin suuntaiselle leikkaukselle :
Kirjoitamme momenttien tasapainon yhtälön akselin ympäri :
Määrä on 2. pienuusaste ja se voidaan hävittää. Näin ollen
Siten on 3 differentiaaliyhtälöä. Niihin lisätään siirtymien yhtälö:
Vektorimatriisimuodossa järjestelmä kirjoitetaan seuraavasti:
missä
Järjestelmän tilavektori:
Ulkoinen kuormitusvektori:
Tämän differentiaaliyhtälön avulla voidaan laskea monikantaisia palkkeja, joiden poikkileikkaushitausmomentti vaihtelee pitkin pituutta ja kuormat jakautuvat monimutkaisesti. Yksinkertaisten palkkien laskemiseen käytetään yksinkertaistettuja menetelmiä. Staattisesti määrättyjen palkkien laskennassa materiaalien kestävyydessä taivutusmomentti löydetään leikkausmenetelmällä. Yhtälö
integroitu kahdesti:
Vakiot , löytyvät säteelle asetetuista reunaehdoista. Joten kuvassa esitetyille ulokepalkeille :
Rajaehdot:
Tällä tavalla,
Tämä teoria perustuu samoihin hypoteeseihin kuin klassinen, mutta Bernoullin hypoteesia on muunnettu: oletetaan, että osat, jotka olivat tasaisia ja kohtisuoraa palkin akseliin ennen muodonmuutosta, pysyvät litteinä, mutta lakkaavat olemasta normaaleja kaarevan akselin suhteen. Siten tämä teoria ottaa huomioon leikkausjännityksen ja leikkausjännitykset. Leikkausjännitysten huomioon ottaminen on erittäin tärkeää komposiittien ja puuosien laskennassa , koska niiden tuhoutuminen voi tapahtua sideaineen hajoamisen vuoksi leikkauksen aikana.
Tärkeimmät riippuvuudet:
missä on palkin materiaalin leikkausmoduuli , on poikkileikkauspinta-ala, on kerroin, joka ottaa huomioon leikkausjännitysten epätasaisen jakautumisen poikkileikkaukselle ja riippuu sen muodosta. Arvo
on leikkauskulma.
Tämä suunnittelukaavio simuloi rautatiekiskoja sekä laivoja (ensimmäisessä likimäärässä).
Joustava pohja katsotaan jousisarjaksi, joka ei ole kytketty toisiinsa.
Yksinkertaisin laskentamenetelmä perustuu Winkler -hypoteesiin : elastisen perustuksen reaktio on verrannollinen taipumaan pisteessä ja suunnattu sitä kohti:
missä on taipuma;
- reaktio (säteen pituusyksikköä kohti);
- suhteellisuuskerroin (kutsutaan sänkykerroin ).
Tässä tapauksessa pohjaa pidetään kaksipuolisena, eli reaktio tapahtuu sekä kun palkki painetaan alustaan että kun se erotetaan alustasta. Bernoullin olettamus pätee.
Differentiaaliyhtälö palkin taivuttamiseksi elastiselle alustalle on muotoa:
missä on taipuma;
- taivutusjäykkyys ( joka voi vaihdella pituussuunnassa);
- sängyn kerroin muuttuva pituussuunnassa;
- hajautettu kuorma palkkiin.
Kun jäykkyys ja kerroin on vakio, yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
tai
missä on ilmoitettu
Palkeille, joiden akselin kaarevuussäde on oikeassa suhteessa poikkileikkauksen korkeuteen , eli:
jännitysten jakautuminen korkeutta pitkin poikkeaa lineaarisesta, ja neutraali viiva ei ole sama kuin osan akseli (joka kulkee osan painopisteen kautta ). Tällaista laskentakaavaa käytetään esimerkiksi ketjulenkkien ja nosturin koukkujen laskemiseen.
Stressin jakautumisen kaava on:
missä on taivutusmomentti osassa;
on neutraalin poikkileikkauslinjan säde;
- poikkileikkauksen pinta-ala;
- epäkeskisyys ;
- koordinaatit osan korkeutta pitkin neutraalista viivasta laskettuna.
Neutraaliviivan säde määritetään kaavalla:
Integraali otetaan poikkileikkausalueen yli, koordinaatti mitataan kaarevuuskeskipisteestä. Myös likimääräiset kaavat ovat voimassa:
Analyyttisiä kaavoja on saatavana yleisesti käytetyille poikkileikkauksille. Suorakaiteen muotoiselle osalle, jonka korkeus on :
missä ovat palkin sisä- ja ulkopinnan kaarevuussäteet, vastaavasti.
Pyöreälle osalle:
missä on leikkaussäde.
Useimmissa tapauksissa palkin lujuus määräytyy suurimman sallitun jännityksen mukaan:
missä on palkkimateriaalin myötöraja , on myötöraja. Hauraille materiaaleille:
missä on palkkimateriaalin vetolujuus , on turvakerroin .
Muovimateriaalien tapauksessa nämä kaavat voivat merkittävästi aliarvioida sen kuorman arvon, jolla palkki menettää kantokykynsä. Itse asiassa kantokyky menetetään vain, jos jossain osassa koko materiaali muuttuu plastiseen tilaan. Tällöin osassa voi tapahtua ei-hyväksyttäviä siirtymiä (muodostuu ns. muovinen sarana ). Jos otamme Prandtl -kaavion jännitys-puristuskaaviona , niin suorakaiteen muotoisen tangon, jolla on leveys ja korkeus , rajoittava taivutusmomentti ilmaistaan kaavalla:
Harkitse palkkia, jonka materiaalitiheys , poikkileikkauspinta-ala ja taivutusjäykkyys . Luonnollisten värähtelyjen yhtälöllä on muoto:
missä on poikittaissiirtymä, on tangon massa pituusyksikköä kohti. Ratkaisua haetaan muodossa:
Korvaamalla saamme tavallisen differentiaaliyhtälön :
Vakioleikkaukseltaan säteen osalta se muunnetaan muotoon:
missä
Ratkaisu on kätevä esitellä Krylov -funktioilla :
missä ovat Krylov-funktiot:
ovat pysyviä.
Krylovin funktiot yhdistetään riippuvuuksilla:
Nämä riippuvuudet yksinkertaistavat suuresti palkkien reunaehtojen kirjoittamista:
Säteen kumpaankin päähän on määritetty kaksi rajaehtoa.
Luonnollisten värähtelyjen yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua. Samaan aikaan niistä yleensä vain muutamat ensimmäiset, jotka vastaavat alhaisimpia luonnollisia taajuuksia, ovat käytännön kiinnostavia.
Luonnollisen taajuuden yleinen kaava on:
Yksijänteisille palkkeille:
Ankkurointi | ||
---|---|---|
Vasen pää | Oikea loppu | |
irtisanominen | irtisanominen | |
Vapaa | Vapaa |
k>2:lle
|
irtisanominen | Nivelletty |
k>2:lle
|
Nivelletty | Nivelletty | |
irtisanominen | Vapaa |
k>2:lle
|