Pyörimismatriisi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.11.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Rotaatiomatriisi (tai suuntakosinimatriisi ) on ortogonaalinen matriisi [ 1] , jota käytetään suorittamaan oma ortogonaalinen muunnos euklidisessa avaruudessa . Kun mikä tahansa vektori kerrotaan rotaatiomatriisilla, vektorin pituus säilyy. Rotaatiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin yksi.

Yleensä uskotaan, että toisin kuin siirtymämatriisissa, koordinaattijärjestelmää (perustaa) pyöritettäessä, kun se kerrotaan sarakevektorin rotaatiomatriisilla, vektorin koordinaatit muunnetaan itse vektorin kierron mukaan (eikä koordinaattiakselien kierto , eli tässä tapauksessa kierretyn vektorin koordinaatit saadaan samassa kiinteässä koordinaattijärjestelmässä). Ero näiden kahden matriisin välillä on kuitenkin vain kiertokulman etumerkissä, ja toinen voidaan saada toisesta korvaamalla kiertokulma vastakkaisella; molemmat ovat keskenään käänteisiä ja ne voidaan saada toisistaan transponoimalla.

Kiertomatriisi 2D-avaruudessa

2D-avaruudessa kiertoa voidaan kuvata yhdellä kulmalla seuraavan lineaarisen muunnosmatriisin suorakulmaisissa koordinaateissa : $\;\theta$

M(\theta )={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\mp \sin {\theta }\\\pm \sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix))

tai

M(\theta )=\exp \left({\theta }\cdot {\begin{bmatrix}0&\mp 1\\\pm 1&0\end{bmatrix}}\right)

Kierto suoritetaan kertomalla kiertomatriisi kierrettyä pistettä kuvaavalla sarakevektorilla :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\mp \sin \theta \\\pm \sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

Koordinaatit ( x ', y ') pisteen ( x, y ) kiertymisen tuloksena ovat:

x'=x\cos \theta \mp y\sin \theta ,

y'=\pm x\sin \theta +y\cos \theta .

Kaavojen erityiset merkit riippuvat siitä, onko koordinaattijärjestelmä oikea- vai vasenkätinen ja onko kierto myötä- vai vastapäivään. Ylempi merkki on tavallista oikeakätisen koordinaatiston ja positiivisen vastapäivään kiertämisen sopimusta (sama merkki pätee vasenkätiselle koordinaatistolle, kun positiivinen myötäpäivään kierto on valittu; kahdessa muussa yhdistelmässä alempi merkki).

Kiertomatriisi 3D-avaruudessa

Mikä tahansa kierto kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan esittää kolmen ortogonaalisen akselin ympäri (esimerkiksi karteesisten koordinaattien akselien ympärillä) tapahtuvien rotaatioiden koostumuksella. Tämä koostumus vastaa matriisia, joka on yhtä suuri kuin kolmen vastaavan rotaatiomatriisin tulo.

Kiertomatriisit suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän akselin ympäri kulman verran kolmiulotteisessa avaruudessa kiinteällä koordinaattijärjestelmällä ovat: $\alpha$

Kierto akselin ympäri : $x$

M_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix)) .

Kierto akselin ympäri : $y$

M_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix)).

Kierto akselin ympäri : $z$

M_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix)) .

Kiertomatriisi akseleita pitkin , , :

x

y

z

M_{x}(\alpha )*M_{y}(\beta )*M_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ cos \beta \cos \gamma &-\sin \gamma \cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha &-\sin \ alfa \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\sin \beta \cos \alpha \cos \ gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha &\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}}.

Tässä tapauksessa positiiviset kulmat vastaavat vektorin pyörimistä vastapäivään oikeassa koordinaatistossa ja myötäpäivään vasemmassa koordinaatistossa, jos katsot vastaavan akselin suuntaa vastaan [2] . Esimerkiksi, kun kierretään kulman läpi akselin ympäri , akseli menee kohtaan : . Samoin ja . Oikea koordinaattijärjestelmä liittyy oikean perustan valintaan (katso gimlet-sääntö ). $\alpha =90^{\circ }$ $z$ $x$ $y$ ${\displaystyle M_{z}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{x}=\mathbf {e} _{y))$ ${\displaystyle M_{y}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{x))$ ${\displaystyle M_{x}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{z))$

Kiertomatriisi -ulotteisessa avaruudessa $n$

Minkä tahansa korkeamman ulottuvuuden äärellisulotteisen avaruuden rotaatiomatriisit voidaan kirjoittaa täsmälleen samalla tavalla.

On vain syytä pitää mielessä, että avaruuden mitoille, jotka eivät ole yhtä suuria kuin kolme, on mahdotonta määrittää yhtä suoraa, joka on kohtisuorassa kahteen annettuun suoraan, ja siksi ei voida puhua pyörimisestä jonkin akselin ympäri, voidaan puhua pyörimisestä joku kone [3] . Kaikki pisteet liikkuvat minkä tahansa ulottuvuuden avaruudessa 2:sta alkaen aina yhdensuuntaisesti jonkin (kaksiulotteisen) tason kanssa.

Joten aivan samalla tavalla kuin kolmiulotteisessa tapauksessa (edellä olevalla varauksella), voimme kirjoittaa kiertomatriisin mihin tahansa koordinaattitasoon mille tahansa avaruuden ulottuvuudelle.

Esimerkiksi:

M_{1,2}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0 end{pmatrix}}

on rotaatiomatriisi 5-ulotteisessa avaruudessa tasossa , $x_{1}x_{2}$

M_{2,4}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&\cos \alpha &0&-\sin \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&\sin \alpha &0\&\cos \&0&\cos 0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

on rotaatiomatriisi 7-ulotteisessa avaruudessa tasossa . $x_{2}x_{4}$

Tällä lähestymistavalla sinien edessä olevat merkit on vielä helpompi sijoittaa, koska ne määräytyvät sen mukaan, missä järjestyksessä kiertotason akselit on listattu: kumpi on nimetty ensin, sillä rivillä ennen sinimiinusta.
On helppo nähdä, että kiertomatriisi tasossa osuu (mikä on luonnollista) kiertomatriisin kanssa tasossa jne. aina kiertokulman muutokseen asti vastakkaiseksi. $x_{1}x_{2}$ $x_{2}x_{1}$
Siksi sellaiset matriisit, joissa on permutoidut indeksit, eivät selvästikään ole riippumattomia, ja mielivaltaisen kierron saamiseksi riittää, että kukin taso sisällytetään koostumukseen vain kerran, eli vain , eikä ja . $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{1,2}(\alpha _{1,2})$ $M_{2,1}(\alpha _{2,1})$

Pyörimisakselin muuttaminen

Olkoon rotaatiomatriisi akselin ympäri, jonka yksikkövektori on kulmassa , on kiertomatriisi akselin ympäri yksikkövektorin kanssa samalla kulmalla, ja $\;M$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M'$ $\;n'$

\;n'=M''\cdot \;n,

missä on rotaatiomatriisi, joka muuttaa kiertoakselin yksikkövektoria . Sitten $\;M''$ $\;n$

M'=M''\cdot M\cdot M''^{\;T},

missä on transponoitu matriisi . $\;M''^{{\;T))$ $\;M''$

Käännösten muuttuvuus

Jos on kiertomatriisi akselin ympäri, jonka yksikkövektori on kulman mukaan , on kiertomatriisi akselin ympäri, jonka yksikkövektori on kulmalta , niin on matriisi, joka kuvaa kahdesta peräkkäisestä kierrosta ( ja ) johtuvaa kiertoa , koska $\;M_{1}$ $\;n$ $\;\alpha$ $\;M_{2}$ $\;m$ $\;\beeta$ $M_{2}\cdot M_{1}$ $\;M_{1}$ $\;M_{2}$

(M_{2}\cdot M_{1})\cdot r=M_{2}\cdot (M_{1}\cdot r).

Tässä tapauksessa käännösten järjestystä voidaan muuttaa muokkaamalla käännettä : $\;M_{1}$

M_{2}\cdot M_{1}=M'_{1}\cdot M_{2},

missä matriisi on kiertomatriisi kulman verran akselin c ympäri, kun yksikkövektoria kierretään kiertymällä : $\;M'_{1}$ $\;\alpha$ $\;n',$ $\;M_{2}$

n'=M_{2}\cdot n,\qquad M'_{1}=M_{2}\cdot M_{1}\cdot M_{2}^{T},

koska , koska rotaatiomatriisi on ortogonaalinen matriisi ( on identiteettimatriisi ). Huomaa, että rotaatioilla ei ole kommutatiivisuutta tavallisessa merkityksessä, eli $M_{2}^{T}\cdot M_{2}=E$ $\;E$

M_{2}\cdot M_{1}\neq M_{1}\cdot M_{2}.

Kiertomatriisin ilmaisu Euler-kulmilla

Peräkkäiset kierrokset akselien ympäri precessiokulman ( ), nutaatiokulman ( ) ja oikean kiertokulman ( ) mukaan johtavat seuraavaan rotaatiomatriisin lausekkeeseen: $\;Z,X',Z''$ $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\ sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}}.

Akseli - X -akseli kierretty ensimmäisellä kierroksella (prosentilla ), - Z - akseli kierretty ensimmäisellä ja toisella kierroksella (by ja ). Kiertymien permutatiivisuudesta johtuen pelkistetty matriisi vastaa kiertoja kulmien , , läpi Z-, X-, Z -akselien ympärillä : $\;X'$ $\;\alpha$ $\;Z''$ $\;\alpha$ $\;\beeta$ $\;\gamma$ $\;\beeta$ $\;\alpha$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{Z}(\alpha )\cdot M_{X}(\beta )\cdot M_{Z}(\gamma )

Mikäli rotaatiot on määritelty eri järjestyksessä, kiertomatriisi löydetään kertomalla matriisit pyörimistä varten vastaavien suorakulmaisten koordinaattiakseleiden ympäri, esimerkiksi:

1) Kierto akseleiden ympäri: ${\näyttötyyli X,Y,X}$
2) Vastaavasti: ${\näyttötyyli X,Y,Z}$
3) ${\näyttötyyli X,Z,X}$
neljä) ${\näyttötyyli X,Z,Y}$
5) ${\näyttötyyli Y,X,Y}$
6) ${\näyttötyyli Y,X,Z}$
7) ${\näyttötyyli Y,Z,X}$
kahdeksan) ${\näyttötyyli Y,Z,Y}$
9) $Z,X,Y$
kymmenen) ${\näyttötyyli Z,X,Z}$
yksitoista) ${\näyttötyyli Z,Y,X}$
12) ${\näyttötyyli Z,Y,Z}$