Menetelmä amplitudien hitaasti vaihtelemiseksi

Hitaasti vaihtelevien amplitudien menetelmää ( MMMA , joskus Van der Pol -menetelmä ) [1] käytetään sellaisten epälineaaristen yhtälöiden likimääräiseen ratkaisuun, jotka ovat lähellä lineaarisia ja värähtelyt ovat lähellä harmonisia [2] . Menetelmä perustuu oletukseen, että aallon amplitudi (verhokäyrä) muuttuu hitaasti ajassa ja avaruudessa verrattuna aaltojaksoon.

Menetelmää käytetään mm. radiofysiikassa [3] , epälineaarisessa optiikassa [4] [5] [6] .

Esimerkki

Harkitse sähkömagneettisen aallon yhtälöä :

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2))}= 0,

missä k 0 ja ω 0 ovat aaltovektori ja aallon kulmataajuus E ( r , t ), ja käytä seuraavaa esitystä:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0} \,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\oikea],

missä tarkoittaa todellista osaa. $\scriptstyle \Re [\cdot ]$

Hitaasti muuttuvassa amplitudin approksimaatiossa kompleksiamplitudin E 0 ( r , t ) oletetaan vaihtelevan hitaasti r :n ja t :n kanssa . Se olettaa myös, että E 0 ( r , t ) edustaa aaltoa, joka etenee eteenpäin suunnassa k 0 . E 0 :n ( r , t ) hitaasta muutoksen seurauksena korkean kertaluvun derivaatat voidaan jättää huomiotta: [7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

ja ,

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

Kun approksimaatio on käytetty ja korkeammat derivaatat nollattu, aaltoyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\ ,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\ ,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

Ottaen huomioon, että k 0 ja ω 0 täyttävät dispersiosuhteen :

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

saamme:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\ osittainen E_{0}}{\osittais t}}=0.

Tämä on hyperbolinen yhtälö , kuten alkuperäinen aaltoyhtälö, mutta nyt ensimmäistä eikä toista kertaluokkaa. Se pätee koherenteille aalloille, jotka etenevät suuntiin lähellä k 0 . Usein tällainen yhtälö on paljon helpompi ratkaista kuin alkuperäinen.

Parabolinen approksimaatio

Tarkastellaan etenemistä z -suunnassa eli k 0 || z . Silloin menetelmä pätee vain z -koordinaatin ja ajan derivaattaisiin. Jos Laplace - operaattori on x - y -tasossa , saamme tuloksena: ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2))$

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{ \frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Tämä on parabolinen yhtälö , joten approksimaatiota kutsutaan myös paraboliseksi approksimaatioksi [8] .

Katso myös

Linkit

↑ Baltia. van der Pol Jun. D. Sc. (1927) VII. Pakotetut värähtelyt piirissä, jossa on epälineaarinen vastus. (Vastaanotto reaktiivisella triodilla), The London, Edinburgh ja Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
↑ Papaleksi N D, Andronov A A, Gorelik G S, Rytov S M "Joitakin tutkimusta epälineaaristen värähtelyjen alalla Neuvostoliitossa vuodesta 1935 lähtien" 33 335-352 (1947)
↑ Andreev V.S. Epälineaaristen sähköpiirien teoria: Oppikirja yliopistoille. - M .: Radio ja viestintä, 1982. - 280 s.
↑ Arecchi, F.T. & Bonifacio, R. IEEE, J. Quantum Electron. 1, 169 - 178 (1965).
↑ Sizmin D.V. "Epälineaarinen optiikka", Sarov: SarFTI, 2015. - 147 s.
↑ RW Boyd (2008). Nonlinear Optics (kolmas painos). Orlando: Academic Press.
↑ Butcher, Paul N. Epälineaarisen optiikan elementit / Paul N. Butcher, David Cotter. - Uusintapainos. - Cambridge University Press , 1991. - S. 216. - ISBN 0-521-42424-0 .
↑ Svelto, Orazio. Lasersäteiden itsefokusoituminen, itsejääminen ja itsevaihemodulaatio // Optiikan edistyminen . - North Holland , 1974. - Voi. 12. - s. 23–25. - ISBN 0-444-10571-9 .