Wasersteinin mittari

Vasersteinin metriikka on luonnollinen metriikka metriavaruuden todennäköisyysmittausten avaruudesta .

Intuitiivisesti, jos jokainen mitta mittaa "maaperän" jakautumista metriavaruudessa M , niin Wasersteinin etäisyys mittaa vähimmäiskustannukset maaperän jakautumisesta toiseen, yksinkertaisimmassa tapauksessa oletetaan, että kustannus on suoraan verrannollinen maaperän jakautumiseen. maaperän määrä ja etäisyys, jonka yli se on vedettävä.

Nimen "Vaserstein-metriikka" ehdotti Dobrushin vuonna 1970 Leonid Vasersteinin ( syntynyt Leonid Vaseršteĭn ) kunniaksi, joka harkitsi sitä vuonna 1969.

Määritelmä

Olkoon ( M , d ) metriavaruus , jolle jokainen M :n todennäköisyysmitta on Radon-mitta .

Jos p ≥ 1, olkoon P p ( M ) kaikkien M :n todennäköisyysmittojen μ joukko, jolla on äärellinen p - momentti : eli jollekin (ja siten mille tahansa) pisteelle x 0 M : ssä on

\int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .

Sitten p :s Vaserstein-metriikka W p ( μ , ν ) kahden todennäköisyyssuureen μ ja ν välillä P p ( M ) määritellään seuraavasti

W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x, y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\oikea)^{1/p},

missä Γ( μ , ν ) merkitsee joukkoa kaikkia mittareita yli M × M marginaalisilla (osittais)jakaumilla μ ja ν ensimmäiselle ja toiselle parametrille, vastaavasti. (Mittausjoukkoa Γ( μ , ν ) kutsutaan myös kaikkien μ :n ja ν :n parien joukoksi .)

Ominaisuudet

Konvergenssi tässä mittarissa vastaa mittausten heikkoa konvergenssia plus ensimmäisen p - hetken konvergenssi. $W_{p}$

W 1 :n kaksoismääritelmä on erityinen tapaus Kantorovich -Rubinshtein duaalisuuslauseesta (1958): jos μ :llä ja ν :llä on rajallinen tuki, niin $W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\oikea \},$

jossa supremumi on otettu kaikkiin 1 - Lipschitzin funktioihin f .

Mille tahansa p ≥ 1:lle metriavaruus ( P p ( M ), W p ) on erotettavissa ja täydellinen , jos ( M , d ) on erotettavissa ja täydellinen [1] .

Katso myös

Kuljetustehtävä

Muistiinpanot

↑ Bogachev, VI; Kolesnikov, AV Monge-Kantorovich-ongelma: saavutuksia, yhteyksiä ja näkökulmia // Matemaattisten tieteiden edistysaskel . - RAS . — Voi. 67 . - s. 785-890 . - doi : 10.1070/RM2012v067n05ABEH004808 .

Kirjallisuus

Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix . Fokker-Planck-yhtälön variaatioformulaatio // SIAM J. Math. Anaali. : päiväkirja. - 1998. - Voi. 29 , ei. 1 . - S. 1-17 (sähköinen) . — ISSN 0036-1410 . - doi : 10.1137/S0036141096303359 .
Rüschendorf, L. (2001), "Wasserstein-metriikka" , julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4