Monimutkainen projektiivinen taso

Kompleksinen projektiotaso on kaksiulotteinen kompleksinen projektiotila ; on kaksiulotteinen monimutkainen monisto , sen todellinen mitta on 4.

Yleensä merkitty . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$

Rakentaminen

Pisteet kompleksisella projektiivitasolla ja niitä kuvataan homogeenisilla kompleksikoordinaateilla

(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

Tässä tapauksessa skalaarin verran eroavia kolmioita pidetään identtisinä:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topologia

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ on homeomorfinen Hopf-toiminnan 5-pallon osamäärälle . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3))$ ${\mathbb S}^{1}$

Bettyn numerot : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ on yksinkertaisesti yhdistetty , sen perusryhmä on triviaali.
Kompleksisen projektiivitason ei- triviaaliset homotoopiaryhmät ovat $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

korkeammissa ulottuvuuksissa homotooppiryhmät ovat samat kuin 5-pallon ryhmät.

Algebrallinen geometria

Birational geometriassa kompleksinen rationaalinen pinta on mikä tahansa algebrallinen pinta , joka on birationaalisesti ekvivalentti kompleksisen projektiivisen tason kanssa. Tiedetään, että mikä tahansa ei-singulaarinen rationaalinen monisto saadaan tasosta räjäytysmuunnosten sarjan ja niiden käänteisten ("supistumien") käyrien tuloksena, joiden tulee olla hyvin spesifistä muotoa. Erikoistapauksena toisen asteen ei-singulaariset kompleksipinnat P 3 : ssa saadaan tasosta puhaltamalla kaksi pistettä käyriksi ja sitten supistamalla suora viiva näiden kahden pisteen läpi. Käänteiset muunnokset voidaan nähdä, jos otamme pisteen P toisen kertaluvun pinnalla Q , lisäämme sen ja projisoimme sen tavalliselle tasolle P 3 :ssa vetämällä suoria viivoja P :n läpi .

Kompleksisen projektiivitason birational automorfismien ryhmä on Cremona-ryhmä .

Differentiaaligeometria

Kompleksinen projektiotaso on 4-ulotteinen monisto. Siinä on luonnollinen metriikka, ns. Fubini -tutkimusmetriikka, jossa on 1/4-kiinnitetty leikkauskaarevuus ; eli sen suurin leikkauskaarevuus on 4 ja minimi on 1. Tämä metriikka käynnistyy tekijästä Hopf- toiminnolla . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1))$ ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {S} ^{5}$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

P.S. Aleksandrov. Analyyttisen geometrian kurssi lineaarialgebrasta. - M . : "Nauka", fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden pääpaino, 1979. - s. 598.
CE Springer. Projektiivisten tilojen geometria ja analyysi. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. Kaarevuuden merkki ja geometrinen merkitys. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .