Shimura lajike

Shimura-monitori (joskus Shimura -monitori) on modulaarisen käyrän analogi korkeammissa ulottuvuuksissa, joka syntyy hermiittisen symmetrisen avaruuden osamääränä Q :n yli määritellyn pelkistävän algebrallisen ryhmän kongruentin alaryhmän kautta . Termi "Shimura-jakotukki" viittaa korkeisiin mittoihin, yksiulotteisten jakotukkien tapauksessa puhutaan Shimura-käyristä . Modulaariset Hilbert-pinnat ja modulaariset Siegel-jakotukit ovat Shimura-jakotukkien tunnetuimpia luokkia.

Goro Shimura esitteli Shimura-lajikkeiden erikoistapaukset yleistessään monimutkaisen kertolaskuteorian (modulaariset käyrät). Shimura osoitti, että alun perin analyyttisesti määritellyt objektit ovat aritmeettisia siinä mielessä, että ne täyttävät mallit, jotka on määritelty numerokentän , Shimura-moniston heijastuskentän yli . 1970-luvulla Pierre Deligne loi aksiomaattisen kehyksen Shimuran työlle. Samoihin aikoihin Robert Langlands huomasi, että Shimura-lajikkeet muodostavat luonnollisen esimerkkialueen, joille Langlands-ohjelmassa oletetun motivaation ja automorfisen L-funktion vastaavuus voidaan varmistaa. Automorfiset muodot , sellaisina kuin ne on toteutettu Shimuran monimuotokohomologiassa, ovat helpompia tutkia kuin yleiset automorfiset muodot . Erityisesti on olemassa rakenne, joka liittää niihin Galois-esitykset .

Määritelmä

Shimuran tausta

Olkoon S = Res C / R G m kertovan ryhmän Weil - rajoitus kompleksiluvuista reaalilukuihin . Se on algebrallinen ryhmä, jonka R -pisteiden ryhmä on S ( R ) - C * ja C -pisteiden ryhmä on . Shimuran lähtödata on pari ( G , X ), joka koostuu rationaalisten lukujen kentän Q yli määritellystä pelkistävästä algebrallisesta ryhmästä G ja homomorfismien h konjugasiteettiluokasta X G ( R ) , joka täyttää seuraavat aksioomit : $\mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}$ $S\rightarrow G{\mathbf {R} }$

Jokaiselle h : lle X :stä vain painot (0,0), (1,−1), (−1,1) voivat esiintyä g C :ssä , eli ryhmän G kompleksoitu Lie-algebra hajoaa suoraksi summaksi

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{- },

missä tahansa z ∈ S h ( z ) vaikuttaa triviaalisti summan ensimmäiseen termiin ja kautta ja ) toiseen ja kolmanteen termiin, vastaavasti.

z/{\bar {z))

{\bar {z}}/z

Konjugaattitoiminto h( i ) generoi Cartan-involuution ryhmän GR konjugaattiryhmälle .
G R :n konjugaattiryhmä ei noudata Q :n yli määriteltyä tekijää H , joten h : n projektio H :lle on triviaali.

Nämä aksioomit viittaavat siihen, että X :llä on ainutlaatuinen (mahdollisesti irrotettu) monimutkainen monimutkainen rakenne siten, että missä tahansa esityksessä perhe on holomorfinen Hodge-rakenteiden perhe . Lisäksi se muodostaa muunnelman Hodge-rakenteesta ja X on (epäliittyneiden) Hermitian-symmetristen alueiden äärellinen liitto . $\rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)$ $(V\rho \cdot h)$

Shimura-lajike

Olkoon A ƒ ryhmän Q adelenrengas ] . Kaikille G :n ( A ƒ ) riittävän pienikokoisille avoimelle alaryhmälle K kaksoisosa [

Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K

on muodon paikallisesti symmetristen monistojen äärellinen liitto , jossa yläindeksi plus tarkoittaa yhdistettyä komponenttia . Lajikkeet ovat monimutkaisia algebrallisia muunnelmia ja ne muodostavat käänteisen järjestelmän kaikille riittävän pienille kompakteille avoimille K :n alaryhmille . Tämä käänteinen järjestelmä ${\displaystyle \Gamma \smallsetminus X^{+))$ $Sh_{K}(G,X)$

{\näyttötyyli (Sh_{K}(G,X))_{K}}

noudattaa luonnollista oikeaa toimintaa . Sitä kutsutaan myös Shimura-jakoputkeksi , joka liittyy alkuperäiseen Shimura-dataan ( G , X ) ja on merkitty Sh :ksi ( G , X ). $G(\mathbf {A} _{f})$

Historia

Erikoistyypeille hermiittisille symmetrisille alueille ja kongruenteille alaryhmille Γ muodon algebrallinen muunnelma ja sen tiivistäminen esiteltiin Goro Shimuran 1960-luvun julkaisusarjassa. Shimuran lähestymistapa, joka esiteltiin myöhemmin hänen monografioissaan, oli suurelta osin fenomenologinen ja pyrki monimutkaisen kertolaskuteorian (modulaariset käyrät) vastavuoroisuuslain muotoilun laajaan yleistämiseen . Takautuvasti nimen "Shimura monitoimi" loi Deligne , joka yritti eristää abstraktit ominaisuudet, joilla on rooli Shimuran teoriassa. Delignen muotoilussa Shimura-jakoputket ovat jonkin tyyppisen Hodge-rakenteen parametrien alue. Sitten ne muodostavat luonnollisen yleistyksen korkeampiulotteisista modulaarisista käyristä , joita pidetään elliptisten käyrien moduuliavaruuksina, joilla on tasorakenne. $\Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)$

Esimerkkejä

Olkoon F täysin reaalilukukenttä ja D jakokvaternionalgebra yli F . Kertova ryhmä D × luo kanonisen Shimura-lajikkeen. Sen mitta d on äärettömien paikkojen lukumäärä, joihin D jakautuu. Erityisesti, jos d = 1 (esimerkiksi jos F = Q ja ), kiinnittämällä riittävän pieni aritmeettinen alaryhmä ryhmästä D × saadaan Shimura-käyrä ja tästä konstruktiosta syntyvät käyrät ovat jo kompakteja (eli projektiivisiä ). $D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )$

Joitakin esimerkkejä käyristä tunnetuilla yhtälöillä, jotka on saatu matalan suvun Hurwitz-pinnoilla :

Klein quartic (suku 3)
Macbeathin pinta (suku 7)
Ensimmäinen Hurwitz -kolmio (suku 14)

ja asteen Fermat-käyrä [1] .

Muita esimerkkejä Shimura-jakotukista ovat Picard-moduulipinnat ja Hilbert-Blumenthal-jakotukit .

Kanoniset mallit ja erikoispisteet

Mitä tahansa Shimura-lajiketta, joka voidaan määrittää kanonisen lukukentän E yli , kutsutaan heijastuskenttään . Tämä Shimurasta johtuva tärkeä tulos osoittaa, että Shimura-lajikkeilla, jotka ovat a priori vain monimutkaisia lajikkeita, on algebrallinen määritelmä ja siksi niillä on aritmeettinen arvo. Tämä muodostaa lähtökohdan vastavuoroisuuden lain muotoilussa, jossa tietyillä aritmeettisesti määritellyillä erikoispisteillä on tärkeä rooli .

Shimura - sarjan pistejoukkojen Zariski-sulkemisen kvalitatiivista luonnetta kuvaa André-Oortin arvelu . Tästä hypoteesista voidaan johtaa ehdollisia tuloksia, jotka perustuvat yleistettyyn Riemannin hypoteesiin .

Rooli Langlands-ohjelmassa

Shimura-jakoputket ovat merkittävässä asemassa Langlandsin ohjelmassa . Eichler-Shimura kongruenssirelaatiosta seuraa , että modulaarisen käyrän Hasse-Weyl zeta -funktio on tulos L-funktioista, jotka liittyvät eksplisiittisesti määriteltyihin modulaarisiin painomuotoihin 2. Itse asiassa Goro Shimura esitteli lajikkeensa ja todisti hänen vastavuoroisuuslakinsa tämän lauseen yleistyksessä. Eichler, Shimura, Kuga, Sato ja Ihara tutkivat GL 2 -ryhmään liittyvien Shimura-lajikkeiden zeta-funktioita muihin lukukenttiin verrattuna ja niiden sisämuotoihin (eli kvaternionalgebroiden multiplikatiivisiin ryhmiin). Robert Langlands ennusti tulostensa perusteella, että minkä tahansa lukukentän yli määritellyn algebrallisen muunnelman W Weyl zeta -funktion on oltava automorfisten L-funktioiden positiivisten ja negatiivisten potenssien tulos, eli sen täytyy syntyä automorfisten esitysten joukosta. . Tämän tyyppiset väitteet voidaan kuitenkin todistaa, jos W on Shimura-lajike. Langlandsin mukaan:

Väite, että kaikki Shimura-lajikkeiden L-funktiot ja sitten kaikki Shimura-lajikkeen määrittelemät motiivit voidaan ilmaista automorfisten L-funktioiden avulla [hänen vuoden 1970 artikkelissa], on heikompi, jopa hyvin heikompi kuin väite, että kaikki motiiviset L-funktiot ovat yhtä suuria kuin tällaiset L-funktiot. Vaikka tiukemman väitteen odotetaan olevan totta, tietääkseni ei ole mitään hyvää syytä odottaa kaikkien motiivisten L-funktioiden liittyvän Shimura-lajikkeisiin.

Muistiinpanot

↑ Elkis , kohta 4.4 (s. 94-97) julkaisussa Levy, 1999 .

Kirjallisuus

Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Quaternion-järjestykset, neliömuodot ja Shimura-käyrät. - Providence, RI: American Mathematical Society , 2004. - V. 22. - (CRM Monograph Series). — ISBN 0-8218-3359-6 .
Harmoninen analyysi, jäljityskaava ja Shimura-lajikkeet / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. - AMS, 2005. - V. 4. - (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0 .
Pierre Deligne . Travaux de Shimura // Séminaire Bourbaki, 23ème année 1970/71 Exp. ei. 389 . - Springer, Berliini, 1971. - T. 244. - S. 123-165. — (Matematiikan luentomuistiinpanot).
Pierre Deligne . Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et technologys de construction de modèles canoniques // Automorfiset muodot, esitykset ja L-funktiot; Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), osa 2. - Providence, RI: Amer. Matematiikka. Soc., 1979, s. 247–289.
Pierre Deligne , James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Hodge-syklit, motiivit ja Shimura-lajikkeet. - Berliini-New York: Springer-Verlag, 1982. - T. 900. - P. ii + 414. — (Matematiikan luentomuistiinpanot). — ISBN 3-540-11174-3 .
Kahdeksanosainen tapa / Silvio Levy. - Cambridge University Press , 1999. - V. 35. - (Mathematical Sciences Research Institute Publications). - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Matematiikan tietosanakirja / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Milne J. Shimura-lajikkeet ja motiivit // Motives , Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. - Amer. Matematiikka. Soc, 1994, s. 447–523.
Milne JS Johdatus Shimura-lajikkeisiin . – 2004.
Harry Reimann. Kvaternionisten Shimura-lajikkeiden puoli-yksinkertainen zeta-funktio / Dold E., Takens F.. - New York, Lontoo, Paris, Tokio: Springer, 1997. - T. 1657. - (Matematiikan luentomuistiinpanot). — ISBN 3-540-62645-X .
Goro Shimura . Goro Shimuran kerätyt teokset // . - 2003-2016. — V. 1–5.
Goro Shimura . Johdatus automorfisten funktioiden aritmeettiseen teoriaan. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. - V. 11. - (Japanin matemaattisen yhteiskunnan julkaisut). - ISBN 0-691-08092-5 .