Ei-transitiiviset nopat

Noppijoukko on ei- transitiivinen , jos se koostuu kolmesta noppaa A , B ja C , joille nopanheiton tulos A on yli 50 % suurempi kuin nopanheiton tulos B , nopan heiton B tulos on enemmän kuin 50 % suurempi kuin nopan heiton C tulos , mutta väite, että nopan A heiton tulos on yli 50 % todennäköisempi kuin nopan C heiton tulos, on virheellinen. Toisin sanoen noppijoukko on ei-transitiivinen , jos sille binäärirelaatio "suuremman luvun saaminen yli 50 %:n todennäköisyydellä" ei ole transitiivinen .

On olemassa noppasarjoja, joilla on selvempi ominaisuus, joissa jokaiselle noppaalle on toinen, kun heitetään yli 50% todennäköisyydellä, saadaan suurempi määrä.

Esimerkki

Esimerkki ei-transitiivisista luista on seuraava joukko:

Tässä joukossa todennäköisyys , että heittämällä A saadaan luku, joka on suurempi kuin heittämällä B ; todennäköisyys, että heittäessä B saa luvun, joka on suurempi kuin heittäessä C ; ja myös todennäköisyys, että heitettäessä C saa luvun, joka on suurempi kuin heittäessä A , ne ovat samat ja yhtä suuret kuin 5/9, eli tämä joukko on ei-transitiivinen.

Ei-transitiivisten noppien käyttö vaikuttaa pelin lopputulokseen seuraavilla säännöillä:

  1. Ensimmäinen pelaaja valitsee sarjasta nopan.
  2. Toinen pelaaja valitsee yhden sarjaan jäävistä nopista ensimmäisen pelaajan valinnan jälkeen.
  3. Molemmat pelaajat heittävät noppaa; pelaaja, jolla on suurempi numero, voittaa.

Transitiivisia noppaa käytettäessä pelin etu on se, joka pelaaja voi ensimmäisenä valita nopan, jonka tulos on vähintään 50 %:n todennäköisyydellä suurempi kuin minkä tahansa muun sarjan nopan heiton tulos. Käytettäessä yllä annettua ei-transitiivisten noppien sarjaa etu on toiselle pelaajalle, joka ensimmäisen pelaajan valinnasta riippumatta voi valita jäljellä olevista nopista sen, jonka heitto todennäköisyydellä 5/ 9 ylittää ensimmäisen pelaajan tuloksen.

Ei-transitiiviset noppamuunnelmat

Efronin luut

Efronin noppaa on neljän ei-transitiivisen nopan sarja, jonka on keksinyt Bradley Efron .

Neljän luun A, B, C ja D edessä on seuraavat numerot:

Todennäköisyydet

Jokaisen sarjan nopan heiton tulos on suurempi kuin seuraavan nopan heiton tulos todennäköisyydellä 2/3:

B:n heiton tulos on ennalta määrätty; luu A ylittää tämän tuloksen 2/3:ssa tapauksista, koska numerot neljällä sen kuudesta pinnasta ovat suurempia.

Vastaavasti luu B ylittää C:n todennäköisyydellä 2/3, koska C:llä on suuria numeroita vain kahdella sen pinnalla.

P(C>D) kahden tapahtuman ehdollisen todennäköisyyden laskemisen tulosten mukaan :

  • C:n pyörittäminen johtaa 6:een (todennäköisyys 1/3); C antaa suuremman tuloksen riippumatta heiton D tuloksesta (todennäköisyys 1)
  • C:n pyörittäminen johtaa 2:een (todennäköisyys 2/3); C antaa suuremman tuloksen, paitsi jos saa 5:tä heittäessäsi D (todennäköisyys 1/2)

Kokonaistodennäköisyys voittaa C on siis:

Vastaavasti todennäköisyys voittaa D:n heitto verrattuna A:n heittoon on:

Best Bone

Efronin sarjassa olevilla neljällä noppaa on kuitenkin erilaiset todennäköisyydet voittaa satunnaisesti valittua noppaa jäljellä olevista kolmesta.

Laskelmien mukaan nopan A suurempi heitto antaa suuremman tuloksen B:n heitosta kahdessa kolmasosassa tapauksista, mutta voi voittaa D:n vain joka kolmannessa tapauksessa. Todennäköisyys saada parempi tulos heittämällä A kuin heittämällä C on 4/9 (A:n pitäisi heittää 4 ja C:n heittää 2). Näin ollen kokonaistodennäköisyys saada suurempi numero heitettäessä A kuin heitettäessä toista noppaa, valittu satunnaisesti:

Vastaavasti B voittaa C:n todennäköisyydellä 2/3 ja voi voittaa A:n 1/3 ajasta. Todennäköisyys heittää B-nopilla on suurempi kuin D-nopilla on 1/2 (todennäköisyys heittää 1-nuolaa D-nopilla). Näin ollen todennäköisyys voittaa B toisesta sarjasta olevasta luusta:

Noppa C voittaa D:n kaksi kolmasosaa ajasta ja sillä on 1/3 mahdollisuus voittaa noppaa B vastaan. Sillä on 5/9 mahdollisuus voittaa noppa A vastaan. Kumulatiivinen todennäköisyys sille, että C voittaa satunnaisesti valitun "kilpailijan" on:

Lopuksi D voittaa A:n 2/3 ajasta ja C 1/3 ajasta. On olemassa 1/2 todennäköisyys, että tämän nopan heitto ylittää B:n heiton (todennäköisyys heittää 5 D:lle). Siksi D antaa tuloksen, joka on suurempi kuin satunnaisesti valitun nostan tulos todennäköisyydellä:

Siten noppa C on joukon paras todennäköisyydellä saada luku, joka on suurempi kuin minkä tahansa muun nopan heittämisen tulos sarjassa. Hänelle tämä todennäköisyys on 0,5185. Nopan C:lle on ominaista myös korkein matemaattinen odotus heiton tuloksesta - 3 1⁄3 ( A: lla+ se on 2 2⁄3 ja+ B:llä ja D:llä 3) .

Vaihtoehdot, joissa on samat lukusummat

Kuten edellä todettiin, Efronin noppaa luonnehtivat erilaiset matemaattiset odotukset heiton tuloksista, toisin sanoen niiden kasvoille piirretyt erilaiset lukusummat. A:lle tämä summa on 16, kun taas B:lle ja D:lle se on 18 ja C:lle se on 20. Koska noppajoukon ei-transitiivisuus riippuu niiden kasvoissa olevien numeroiden suhteellisesta arvosta, ei niiden määrästä. Absoluuttisella arvolla voidaan valita sellaisia ​​lukumuunnelmia, joille heitettäessä samoilla voittotodennäköisyyksillä nopan pintojen numeroiden summa (sekä niiden heiton tulosten matemaattinen odotus) on sama. Esimerkkejä tällaisista vaihtoehdoista ovat:

  • V: 6, 6, 6, 6, 0, 0
  • B: 4, 4, 4, 4, 4, 4
  • C: 8, 8, 2, 2, 2, 2
  • D: 7, 7, 7, 1, 1, 1

tai

  • V: 7, 7, 7, 7, 1, 1
  • B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
  • C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
  • D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Nämä nopan muunnelmat havainnollistavat todennäköisyysjakauman ominaisuuksien merkitystä verrattaessa satunnaismuuttujia , koska ne ovat esimerkkejä muuttujajoukoista, joilla on samat matemaattiset odotukset, mutta jotka eroavat merkittävästi niitä käyttävän "pelin" tuloksista.

Noppa numeroilla 1-24

Neljän nopan joukko, joiden kyljessä ovat kaikki kokonaisluvut 1-24, voi olla ei-transitiivinen. Lisäksi jokaisessa vierekkäisessä noppaparissa toisen heittäminen antaa suuremman tuloksen kuin toisen heiton, todennäköisyydellä lähellä 2/3.

Suuren numeron heittopelissä B voittaa todennäköisemmin A:n, C voittaa B:n, D voittaa C:n ja A voittaa D:n.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
Suhde Efronin luihin

Nopat, joiden numerot ovat 1-24, ovat oleellisesti analogisia Efronin noppien kanssa, koska kunkin noppaparin heittämisen suhteellisen tuloksen kannalta kukin peräkkäinen numero voidaan korvata niistä pienimmällä. Jos tällaisen vaihdon jälkeen kaikkiin luihin jääneet numerot asetetaan paremmuusjärjestykseen ja muutetaan sopivaan arvoon (0 - 6), Efronin luut saadaan.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 -> 1, 1, 16, 16, 16, 16 -> 0, 0, 4, 4, 4, 4
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 -> 3, 3, 3, 20, 20, 20 -> 1, 1, 1, 5, 5, 5
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 -> 6, 6, 6, 6, 23, 23 -> 2, 2, 2, 2, 6, 6
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 -> 10, 10, 10, 10, 10, 10 -> 3, 3, 3, 3, 3, 3

Bones of Miwin

Saksalainen fyysikko Michael Winkelmann keksi Miwinin luut vuonna 1975, ja ne  saivat nimensä hänen etu- ja sukunimensä lyhenteestä. Kunkin nopan vastakkaisilla puolilla olevien lukujen summat ovat 9, 10 ja 11. Vastaavasti kunkin nopan kokonaispistemäärä on 30.

Ensimmäinen sarja Miwin-noppaa koostuu kolmesta nopana: III, IV ja V (nimetty kummankin kahden pienimmän numeron summalla):

  • Luu III numeroilla kasvoilla: 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • Luu IV numeroilla kasvoilla: 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • Luu V numeroilla kasvoilla: 2, 3, 4, 6, 7, 8

Jossa:

  • todennäköisyys , että kuoppa III heitettäessä antaa luvun, joka on suurempi kuin IV, on 17/36
  • todennäköisyys, että noppaa IV heitettynä antaa luvun, joka on suurempi kuin V, on 17/36
  • todennäköisyys, että noppaa V heitettynä antaa luvun, joka on suurempi kuin III, on 17/36

Mukana on vielä kolme Miwin-noppaa, joissa on erilaisia ​​numeroyhdistelmiä.

Sarja, jolla on minimaaliset erot tavallisiin noppiin

Seuraavalla ei-transitiivisella noppasarjalla on vain pieniä eroja tavallisista noppista, joiden numerot ovat 1-6:

  • Kuten tavallinen noppa, kaikkien kasvojen numeroiden summa on 21
  • kuten tavallinen noppa, vain numeroita 1-6 käytetään
  • kasvoja, joissa on sama numero kussakin luussa, esiintyy enintään kahdesti
  • vain kahdella kasvolla on muita numeroita kuin tavallinen noppa:
    • V: 1, 1 , 3, 5, 5 , 6
    • B: 2, 3, 3 , 4, 4 , 5
    • C: 1, 2, 2 , 4, 6, 6

Kuten Miwin-noppaa, todennäköisyys voittaa laatta A vastaan ​​B (tai B vastaan ​​C, C vastaan ​​A) on 17/36. Samaan aikaan tasapelin todennäköisyys on 4/36, joten häviäminen on mahdollista vain 15 kertaa 36:sta.

Ei-transitiiviset dodekaedrit

Samoin kuin ei-transitiivisissa kuusisivuisissa noppissa (noppaa), on olemassa dodekaedrin , dodekaedrin noppaa, joita yhdistää myös ei-transitiiviset suhteet suuremman luvun heittämisen suhteen.

Tunnetuimmat pelien ei-transitiiviset dodekaedrit ovat myös Michael Winckelmannin kirjoittamia, ja niillä on seuraavat ominaisuudet:

  • Jokaisen dodekaedrin kaikkien pintojen lukujen summa on 114.
  • Jokaisen dodekaedrin pinnalla olevat numerot ovat yksilöllisiä (älä toista).
  • Todennäköisyys sille, että jokainen Miwin-dodekaedri voittaa suuremman numeron pelissä sarjan seuraavaa dodekaedria vastaan, on 35:34 ensimmäisessä erässä ja 71:67 ​​toisessa erässä.
D III yksi 2 5 6 7 9 kymmenen yksitoista neljätoista viisitoista 16 kahdeksantoista
D IV yksi 3 neljä 5 kahdeksan 9 kymmenen 12 13 neljätoista 17 kahdeksantoista
DV 2 3 neljä 6 7 kahdeksan yksitoista 12 13 viisitoista 16 17
DVI yksi 2 3 neljä 9 kymmenen yksitoista 12 13 neljätoista 17 kahdeksantoista
D VII yksi 2 5 6 7 kahdeksan 9 kymmenen viisitoista 16 17 kahdeksantoista
D VIII 3 neljä 5 6 7 kahdeksan yksitoista 12 13 neljätoista viisitoista 16

Ei-transitiiviset dodekaedrit alkuluvuilla

On olemassa ei-transitiivisia dodekaedrijoukkoja, joissa kunkin numerot eivät toistu ja ovat alkulukuja . Todennäköisyys, että jokainen ei-transitiivisten Miwin-sarjojen dodekaedri voittaa suuremman numeron pelissä sarjan seuraavaa dodekaedria vastaan, on 35:34.

Sarja 1: Numeroiden summa on 564.

Sarja 2: Numeroiden summa on 468.

PD 1 7 yksitoista 19 23 29 37 43 47 53 61 67 71
PD2 7 13 17 19 31 37 41 43 59 61 67 73
PD 3 yksitoista 13 17 23 29 31 41 47 53 59 71 73

Meta-transitiiviset luut (meta-bones)

Kolme tai useampia luuryhmiä, joissa kussakin luut muodostavat oman ei-transitiivisen ympyrän, ja itse ryhmien väliset suhteet ovat myös ei-transitiivisia. Esimerkki on A.V. Lebedevan metatransitiiviset luut [1] [2] .

Katso myös

Linkit

Muistiinpanot

  1. ↑ Metanettransitive Dice arkistoitu 20. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa
  2. ↑ Lebedev Aleksei Viktorovich Arkistoitu kopio päivästä 19. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa