Rubikin kuution matematiikka | |
---|---|
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa |
Rubikin kuution matematiikka on joukko matemaattisia menetelmiä Rubikin kuution ominaisuuksien tutkimiseen abstraktista matemaattisesta näkökulmasta. Tämä matematiikan haara tutkii kuution kokoamisalgoritmeja ja arvioi niitä. Perustuu graafiteoriaan , ryhmäteoriaan , laskettavuusteoriaan ja kombinatoriikkaan .
On olemassa monia algoritmeja , jotka on suunniteltu siirtämään Rubikin kuutio mielivaltaisesta kokoonpanosta lopulliseen kokoonpanoon (koottuun kuutioon). Vuonna 2010 todistettiin tiukasti, että korkeintaan 20 pintojen kierrosta riittää siirtämään Rubikin kuution mielivaltaisesta kokoonpanosta koottuun kokoonpanoon (kutsutaan usein "kokoonpanoksi" tai "ratkaisuksi") [1] . Tämä luku on Rubikin kuutioryhmän Cayley-graafin halkaisija [2] . Vuonna 2014 todistettiin, että 26 liikettä riittää aina ratkaisemaan Rubikin kuution käyttämällä vain 90° kasvojen käännöksiä [3] .
Algoritmia, joka ratkaisee pulman mahdollisimman pienellä määrällä liikkeitä, kutsutaan God -algoritmiksi .
Tässä artikkelissa käytetään David Singmasterin kehittämää ja hänen vuonna 1981 julkaisemaa "Singmaster-merkintää" [4] [5] kuvaamaan 3×3×3 Rubikin kuution pintojen kiertojärjestystä .
Kirjaimet edustavat vasemman ( vasemman ), oikean ( oikean ), etu- ( etu- ), taka- ( taka- ), ylä- ( ylös ) ja alapuolen ( alas ) kiertoa 90° myötäpäivään. 180° käännökset ilmaistaan lisäämällä 2 kirjaimen oikealle puolelle tai lisäämällä yläindeksi 2 kirjaimen oikealle puolelle. 90° vastapäivään kiertäminen osoitetaan lisäämällä viiva ( ′ ) tai lisäämällä yläindeksi -1 kirjaimen oikealle puolelle. Joten esimerkiksi merkinnät ja ovat vastaavia, samoin kuin merkinnät ja .
On kaksi yleisintä tapaa mitata ratkaisun pituus ( metriikka ). Ensimmäinen tapa - yksi ratkaisun käännös katsotaan kasvojen käännökseksi 90° ( neljänneskierrosmetriikka , QTM ). Toisen menetelmän mukaan 1 liikkeessä huomioidaan myös kasvojen puolikierros ( kasvojen kääntymismetriikka , FTM , joskus sitä merkitään HTM - puolikierrosmetriikalla ). Näin ollen F2 (etupuolen kääntäminen 180°) tulisi laskea kahdeksi liikkeeksi QTM-metriikassa tai yhdeksi siirroksi FTM-metriikassa [6] [7] .
Merkitsemään tekstissä käytetyn metriikan sekvenssin pituutta käytetään merkintää [8] [9] [10] , joka koostuu siirtojen lukumäärän numeroista ja metritunnuksen pienestä ensimmäisestä kirjaimesta. 14f tarkoittaa "14 liikettä FTM-metriikassa" ja 10q tarkoittaa "10 liikettä QTM-metriikassa". Osoittaakseen, että liikkeiden määrä on tietyn metriikan vähimmäismäärä, käytetään tähteä : 10f* tarkoittaa ratkaisun optimaalisuutta 10 FTM-siirrossa.
Rubikin kuutiota voidaan pitää esimerkkinä matemaattisesta ryhmästä .
Jokaista Rubikin kuution kasvojen kuudesta kierrosta voidaan pitää osana 48 Rubikin kuution etiketin joukon symmetristä ryhmää, jotka eivät ole kasvojen keskipisteitä. Tarkemmin sanottuna voidaan merkitä kaikki 48 tarraa numeroilla 1-48 ja määrittää jokaiselle siirrolle symmetrisen ryhmän elementti .
Sitten Rubikin kuutioryhmä määritellään aliryhmäksi , joka on muodostettu kuudella kasvojen kierrolla:
Jokainen konfiguraatio voidaan ratkaista enintään 20 liikkeellä (jos lasketaan mikä tahansa kasvojen käännös liikkeeksi) [1] .
Elementin korkein järjestys on 1260. Esimerkiksi liikesarja on toistettava 1260 kertaa ennen kuin Rubikin kuutio palaa alkuperäiseen tilaansa [13] .
Jumalan algoritmin etsiminen aloitettiin viimeistään vuonna 1980, jolloin avattiin postituslista Rubikin kuution faneille [6] . Siitä lähtien matemaatikot, ohjelmoijat ja amatöörit ovat pyrkineet löytämään Jumalan algoritmin, jotta käytännössä Rubikin kuutio voidaan ratkaista mahdollisimman pienellä määrällä liikkeitä. Tähän ongelmaan liittyi Jumalan lukumäärän määrittäminen - liikkeiden lukumäärä, joka riittää aina palapelin suorittamiseen.
Vuonna 2010 Palo Alton ohjelmoija Thomas Rokiki, Darmstadtin matematiikan opettaja Herbert Kotsemba, Kentin yliopiston matemaatikko Morley Davidson ja Google Inc :n insinööri. John Dethridge osoitti, että Rubikin kuutio voidaan koota mistä tahansa osiin puretusta tilasta 20 liikkeessä. Tässä tapauksessa mikä tahansa kasvojen käännös katsottiin yhdeksi liikkeeksi. Laskentamäärä oli 35 vuotta Googlen lahjoittamaa CPU-aikaa [1] [14] [15] . Teknisiä tietoja suorituskyvystä ja tietokoneiden lukumäärästä ei julkistettu. Laskelmien kesto oli useita viikkoja [16] [17] [18] .
Vuonna 2014 Thomas Rockicki ja Morley Davidson osoittivat, että Rubikin kuutio voidaan ratkaista enintään 26 liikkeellä ilman 180 asteen käännöksiä. Laskelmien määrä oli 29 vuotta prosessoriaikaa Ohion superlaskentakeskuksessa [3] .
On helppo osoittaa, että on olemassa ratkaistavia konfiguraatioita [19] , joita ei voida ratkaista alle 17 siirrolla FTM-metriikassa tai 19 siirrolla QTM-metriikassa.
Tätä arviota voidaan parantaa ottamalla huomioon lisäidentiteetit: kahden vastakkaisen pinnan rotaatioiden kommutatiivisuus (LR = RL, L2 R = R L2 jne.) Tällä lähestymistavalla voidaan saada alaraja Jumalan lukumäärälle 18f:ssä tai 21q [20] [21 ] .
Tämä arvio on ollut pitkään tunnetuin. Se seuraa ei-rakentavasta todistuksesta, koska se ei osoita erityistä esimerkkiä konfiguraatiosta, jonka rakentamiseen tarvitaan 18f tai 21q.
Yksi konfiguraatioista, joille ei löytynyt lyhyttä ratkaisua, oli niin kutsuttu " superflip " tai "12-flip". "Superflipissä" kaikki kulma- ja reunakuutiot ovat paikoillaan, mutta jokainen reunakuutio on suunnattu vastakkain [22] . Rubikin kuutiograafin superflipiä vastaava kärkipiste on paikallinen maksimi: mikä tahansa liike tästä konfiguraatiosta pienentää etäisyyttä alkuperäiseen konfiguraatioon. Tämä viittasi siihen, että superflip on suurimmalla etäisyydellä alkuperäisestä konfiguraatiosta. Eli superflip on globaali maksimi [23] [24] [25] .
Vuonna 1992 Dick T. Winter löysi ratkaisun superflipiin 20f:ssä [26] . Vuonna 1995 Michael Reed osoitti tämän ratkaisun optimaalisen [27] , minkä seurauksena Jumalan lukumäärän alarajaksi tuli 20 FTM. Vuonna 1995 Michael Reid löysi ratkaisun "superflipiin" 24q:ssa [28] . Tämän ratkaisun optimaalisuuden osoitti Jerry Bryan [29] . Vuonna 1998 Michael Reed löysi konfiguraation, jonka optimaalinen ratkaisu oli 26q* [30] .
Jumalan luvun ylärajan saamiseksi riittää, että määritetään mikä tahansa pulmakokoonpanoalgoritmi, joka koostuu rajallisesta määrästä liikkeitä.
Jumalan lukumäärän ensimmäiset ylärajat perustuivat "ihmis"-algoritmeihin, jotka koostuivat useista vaiheista. Ylhäältä tulevien arvioiden lisääminen kullekin vaiheelle mahdollisti lopullisen arvion useiden kymmenien tai satojen siirtojen suuruudesta.
Todennäköisesti ensimmäisen konkreettisen arvion ylhäältä antoi David Singmaster vuonna 1979. Hänen kokoamisalgoritminsa mahdollisti palapelin kokoamisen enintään 277 liikkeellä [16] [31] . Singmaster raportoi myöhemmin, että Alvin Berlekamp , John Conway ja Richard Guy kehittivät kokoonpanoalgoritmin, joka ei vaadi enempää kuin 160 liikettä. Pian ryhmä "Conwayn Cambridgen kubisteja", jotka laativat luetteloa yhdelle kasvolle yhdistelmistä, löysi 94-suuntaisen algoritmin [16] [32] . Vuonna 1982 Kvant - lehti julkaisi luettelon yhdistelmistä, jotka mahdollistavat Rubikin kuution ratkaisemisen 79 liikkeessä [33] .
Thistlethwaiten algoritmi1980-luvun alussa englantilainen matemaatikko Morvin Thistlethwaite kehitti algoritmin, joka paransi merkittävästi ylärajaa. Douglas Hofstadter julkaisi algoritmin yksityiskohdat vuonna 1981 Scientific American -lehdessä . Algoritmi perustui ryhmäteoriaan ja sisälsi neljä vaihetta.
KuvausThistlethwaite käytti useita alaryhmiä , joiden pituus oli 4
missä
Ensimmäisessä vaiheessa mielivaltaisesti annettu konfiguraatio ryhmästä pelkistetään konfiguraatioksi, joka sijaitsee alaryhmässä . Toisen vaiheen tavoitteena on saada kuutio alaryhmän konfiguraatioon käyttämättä vasemman ja oikean pinnan kiertoja ±90°. Kolmannessa vaiheessa Rubikin kuutio pelkistetään ryhmään , kun taas pystypintojen pyörittäminen ±90° on kielletty. Viimeisessä, neljännessä vaiheessa Rubikin kuutio kootaan kokonaan kääntämällä kasvoja 180°.
Alaryhmäindeksit ovat 2048, 1082565 , 29400 ja 663552.
Jokaiselle neljälle oikeiden kosettien perheelle rakennetaan hakutaulukko , jonka koko vastaa ryhmän aliryhmän indeksiä . Jokaiselle alaryhmän viereisyysluokalle hakutaulukko sisältää siirtosarjan, joka muuttaa minkä tahansa konfiguraation tästä viereisyysluokasta kokoonpanoksi, joka sijaitsee itse aliryhmässä .
Tämätlethwaite käytti yksinkertaistavia alustavia liikkeitä vähentääkseen hakutaulukoiden merkintöjen määrää. Se sai alun perin pisteet 85 liikettä. Vuonna 1980 tämä pistemäärä laski 80 siirtoon, sitten 63:een ja 52:een [16] [36] . Thistlethwaiten oppilaat tekivät täydellisen analyysin jokaisesta vaiheesta. Taulukoiden maksimiarvot ovat 7, 10, 13 ja 15 FTM-iskua. Koska 7 + 10 + 13 + 15 = 45, Rubikin kuutio voidaan aina ratkaista 45 FTM [25] [37] [38] siirrolla .
Kreivi SchreierSchreier-graafi on kuvaaja, joka liittyy ryhmään, generointijoukkoon ja aliryhmään. Jokainen Schreier-graafin kärkipiste on oikea cosetjoillekin. Kreivi Schreierin reunat ovat pareja.
Jokainen Thistlethwaiten algoritmin neljästä vaiheesta on Schreier-graafin leveys-ensimmäinen läpikulku , jossa on ryhmän generoiva joukko .
Siten ylempi arvio 45 siirrosta on
missä
on yksikkökosettia vastaavan kärjen epäkeskisyys .Schreier-graafin käsitettä käytettiin Radun [39] , Kunklen ja Coopermanin [40] teoksissa .
Thistlethwaiten algoritmin muutoksetJoulukuussa 1990 Hans Kloosterman käytti modifioitua versiota Thistlethwaiten menetelmästä todistaakseen 42 liikkeen riittävyyden [1] [20] [41] .
Toukokuussa 1992 Michael Reid osoitti, että 39f tai 56q oli riittävä [42] . Sen muunnoksessa käytettiin seuraavaa alaryhmien ketjua:
Muutamaa päivää myöhemmin Dick T. Winter alensi FTM-pisteensä 37 siirtoon [43] .
Joulukuussa 2002 Ryan Hayes kehitti version Thistlethwaiten algoritmista, joka oli suunniteltu ratkaisemaan Rubikin kuutio nopeasti [44] .
Kaksivaiheinen Kotsemba-algoritmiThistlethwaiten algoritmia paransi vuonna 1992 Darmstadtista kotoisin oleva matematiikan opettaja Herbert Kotsemba.
KuvausKotsemba vähensi algoritmivaiheiden lukumäärän kahteen [20] [45] [46] :
Ryhmän visuaalinen kuvaus saadaan, jos tehdään seuraava merkintä [20] [47] :
Sitten kaikilla ryhmän kokoonpanoilla on sama merkintä (yhdenmukaisesti kootun kuution merkinnän kanssa).
Ratkaisu koostuu kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa annettu konfiguraatio käännetään siirtosarjalla johonkin kokoonpanoon . Toisin sanoen ensimmäisen vaiheen tehtävänä on palauttaa alkuperäistä konfiguraatiota vastaava merkintä jättäen huomioimatta tarrojen värit.
Toisessa vaiheessa konfiguraatio siirretään siirtosarjalla alkuperäiseen konfiguraatioon. Tällöin sivupintojen kiertoja ±90° ei käytetä, minkä vuoksi merkintä tallentuu automaattisesti.
Liikkeiden liimaaminen on epäoptimaalinen ratkaisu alkuperäiseen konfiguraatioon [20] [46] [48] .
Vaihtoehtoisia alioptimaalisia ratkaisujaKotsemban algoritmi ei pysähdy ensimmäisen ratkaisun löytämisen jälkeen. Vaihtoehtoiset optimaaliset ratkaisut ensimmäisessä vaiheessa voivat johtaa lyhyempiin ratkaisuihin toisessa vaiheessa, mikä vähentää ratkaisun kokonaispituutta. Algoritmi jatkaa myös ei-optimaalisten ratkaisujen etsimistä ensimmäisessä vaiheessa niiden pituuden kasvattamiseksi [20] [46] [48] .
ToteutusominaisuudetRatkaisujen etsimiseen molemmissa kahdessa vaiheessa käytetään IDA* -algoritmia heurististen funktioiden kanssa, jotka perustuvat vastaavien osatehtävien ratkaisemisen kustannuksiin [48] .
Ensimmäisen vaiheen tehtävä rajoittuu kolmen koordinaatin polun löytämiseen avaruudesta koordinaattimerkinnöistä ( x 1 , y 1 , z 1 ) merkintään (0, 0, 0) [49] :
Harkitse kolmea aliongelmaa polun löytämiseksi merkinnöistä ( x 1 , y 1 , z 1 ) merkintään ( x 1 ', y 1 ', 0), ( x 1 ', 0, z 1 '), (0, y 1 ', z 1 '). Ensimmäisessä vaiheessa käytetyn heuristisen funktion h 1 arvo on yhtä suuri kuin näiden aliongelmien ratkaisemisen enimmäiskustannukset. Osatehtävien ratkaisemisen kustannukset lasketaan etukäteen ja tallennetaan tietokantoihin, joissa on malleja [50] [51] .
Toisen vaiheen tehtävä rajoittuu kolmen koordinaatin polun löytämiseen avaruudessa konfiguraatiosta ( x 2 , y 2 , z 2 ) konfiguraatioon (0, 0, 0) [52] :
Harkitse kolmea aliongelmaa polun löytämiseksi konfiguraatiosta ( x 2 , y 2 , z 2 ) konfiguraatioon ( x 2 ', y 2 ', 0 ), ( x 2 ', 0, z 2 '), (0, y 2 ) ', z2 ') . Toisessa vaiheessa käytetyn heuristisen funktion h 2 arvo on yhtä suuri kuin näiden osaongelmien ratkaisemisen maksimikustannukset.
Algoritmi käyttää lisäoptimointeja, joilla pyritään lisäämään suorituskykyä ja vähentämään taulukoiden [20] [45] [46] [53] käyttämää muistia .
OhjelmistototeutuksetCube Explorer on Windows-käyttöjärjestelmän algoritmin ohjelmistototeutus. Latauslinkit ovat Herbert Kotsemban verkkosivuilla [54] . Vuonna 1992 Atari ST PC :ssä, jossa oli 1 MB muisti ja taajuus 8 MHz, algoritmi mahdollisti ratkaisun löytämisen enintään 22 liikettä 1-2 minuutissa [20] [45] . Nykyaikaisessa tietokoneessa Cube Explorer mahdollistaa ratkaisun löytämisen muutamassa sekunnissa enintään 20 liikkeellä mielivaltaisesti annetulle kokoonpanolle [45] .
Algoritmista on olemassa online-versio [55] .
AnalyysiVuonna 1995 Michael Reed osoitti, että Kotsemban algoritmin ensimmäinen ja toinen vaihe voivat vaatia enintään 12 ja 18 liikettä (FTM). Tästä seuraa, että Rubikin kuutio voidaan aina ratkaista 30 siirrolla. Lisäanalyysi osoitti, että 29f tai 42q [25] [56] on aina riittävä .
Kotsemban algoritmin avulla löydät nopeasti lyhyitä, epäoptimaalisia ratkaisuja. Löydetyn ratkaisun optimaalisuuden osoittaminen voi kuitenkin viedä huomattavasti aikaa. Optimaalisten ratkaisujen löytämiseen tarvittiin erikoisalgoritmi.
Vuonna 1997 hän julkaisi algoritmin, jonka avulla hän pystyi optimaalisesti ratkaisemaan mielivaltaisia Rubikin kuution kokoonpanoja. Kymmenen satunnaisesti valittua kokoonpanoa ratkaistiin enintään 18 FTM-siirrolla [57] [58] .
Itse Korff-algoritmi toimii seuraavasti. Ensinnäkin määritetään osaongelmat, jotka ovat riittävän yksinkertaisia täydellisen luettelon suorittamiseksi. Käytettiin seuraavia kolmea alatehtävää [25] :
Kunkin aliongelman ratkaisemiseen vaadittavien liikkeiden määrä on alaraja ratkaisun suorittamiseen tarvittavien liikkeiden lukumäärälle. Satunnaisesti annettu Rubikin kuution konfiguraatio ratkaistaan käyttämällä IDA* -algoritmia , joka käyttää tätä arviota heuristisena. Osatehtävien ratkaisemisen kustannukset tallennetaan tietokantoihin, joissa on malleja [50] [57] .
Vaikka tämä algoritmi löytää aina optimaaliset ratkaisut, se ei suoraan määritä kuinka monta liikettä pahimmassa tapauksessa tarvitaan.
Algoritmin toteutus C:ssä löytyy julkaisusta [59] .
Vuonna 2005 Michael Reidin QTM-pisteet paransivat Silviu Radun arvoon 40q [60] . Vuonna 2006 Silviu Radu osoitti, että Rubikin kuutio voidaan ratkaista 27f [39] tai 35q [61] .
Vuonna 2007 Daniel Kunkle ja Gene Cooperman käyttivät supertietokonetta todistaakseen, että kaikki ratkaisemattomat kokoonpanot voidaan ratkaista enintään 26 FTM-siirrolla. Ajatuksena oli tuoda Rubikin kuutio yhteen 15 752 neliökokoonpanosta , joista jokainen voidaan lopulta ratkaista muutamalla ylimääräisellä liikkeellä. Suurin osa kokoonpanoista ratkaistiin tällä tavalla enintään 26 siirrolla. Jäljelle jääville kokoonpanoille tehtiin lisäanalyysi, joka osoitti, että ne voidaan ratkaista myös 26 siirrolla [40] [62] .
Vuonna 2008 Thomas Rokicki julkaisi laskennallisen todisteen FTM 25-liikkeen pulman ratkaistavuudesta [63] . Elokuussa 2008 Rokiki ilmoitti 23f:n ratkaisevuudesta [64] . Myöhemmin tämä arvio parani arvoon 22f [65] . Vuonna 2009 hän onnistui myös osoittamaan ratkaistavuuden 29 QTM-siirrolla [66] .
Vuonna 2010 Thomas Rokicki, Herbert Kotsemba, Morley Davidson ja John Dethridge ilmoittivat todisteen siitä, että mikä tahansa Rubikin kuution konfiguraatio voidaan ratkaista enintään 20 siirrolla FTM-metriikassa [1] [14] . Yhdessä aiemmin tunnetun alemman arvion 20f* kanssa tämä osoitti, että Rubikin kuution jumalanumero FTM-metriikassa on 20.
Elokuussa 2014 Rockiki ja Davidson ilmoittivat, että Rubikin kuution jumalanumero QTM-metriikassa on 26 [3] [67] .
Rubikin kuution konfiguraatiota, joka sijaitsee suurimmalla etäisyydellä alkuperäisestä konfiguraatiosta, kutsutaan antipodiksi. Millä tahansa antipodilla FTM-metriikassa on optimaalinen ratkaisu 20f*:ssa, ja kaikilla QTM-metriikan antipodilla on optimaalinen ratkaisu 26q*:ssa [3] [68] .
Tiedetään, että FTM-metriikassa on miljoonia antipodeja [69] . Yksi tällainen kokoonpano on "superflip". Päinvastoin, QTM-metriikassa tunnetaan tällä hetkellä vain yksi antipodaalinen konfiguraatio (lukuun ottamatta siitä rotaatioilla saatuja konfiguraatioita) - ns. superflip koostuu neljästä pisteestä [30] [67] [68] [70] . Vain kaksi konfiguraatiota tunnetaan 25q*:n etäisyydellä alkuperäisestä konfiguraatiosta ja noin 80 tuhatta konfiguraatiota 24q*:n etäisyydellä [3] [69] .
Vuonna 2011 n × n × n kuution jumalanumeron osoitettiin olevan Θ( n 2 / log( n )) [71] [72] .
Void Cube on 3x3x3 Rubikin kuutio, jossa ei ole keskiosia.
Optimaalisen ratkaisun pituus "tyhjä superflip " FTM-metriikassa on 20 [73] [74] , mikä on todiste siitä, että 20 liikettä tarvitaan. Koska tyhjiökuutio on Rubikin kuution heikentynyt ongelma [50] , olemassa oleva todiste 20 liikkeen riittävyydestä Rubikin kuutiolle [1] pätee tyhjiökuutioon. Siksi tyhjäkuution jumalanumero FTM-metriikassa on 20.
4×4×4 palapelin ( Eng. Rubik's Revenge ) kokoonpanojen määrä on [75]
Mittarit 4×4×4On olemassa useita tapoja määrittää 4x4x4-kuution mittari. Tämä osio käyttää seuraavia mittareita:
Mielivaltaisen konfiguraation optimaalisen ratkaisun pituus qb -metriikassa ei ole suurempi kuin qw- tai qs -metriikassa , koska kaikki kahden muun q-metriikan liikkeet ovat sallittuja qb -metriikassa. Sama koskee h-metriikkaa.
Arviot Jumalan kuution 4×4×4 lukumäärästäVuosina 2006-2007 Bruce Norskog teki 5-vaiheisen analyysin 4x4x4-kuutiosta, joka on samanlainen kuin Thistlethwaiten 3x3x3-Rubikin kuutiolle tekemä 4-vaiheinen analyysi. Analyysi tuotti ylärajaksi 82 liikettä hw -metriikassa [76] , 77 liikettä hs -metriikassa [77] [78] ja 67 liikettä hb -metriikassa [76] .
Vuonna 2011 Thomas Rokiki määritti useiden olemassa olevien ajatusten perusteella alarajat Jumalan lukumäärälle kuudessa metriikassa kuutiopulmille, joiden koko oli 2×2×2 - 20×20×20 [79] .
Vuonna 2013 Shuang Chen (陈霜) laski hw -pisteensä 82:sta 57 kierrokseen [80] .
Vuonna 2015 Thomas Rokicki vahvisti huippupisteet 57 hw ja sai uudet huippupisteet 56 hs ja 53 hb [81] . Muutamaa päivää myöhemmin Shuang Chen (陈霜) onnistui saamaan ylärajat 55 hw ja 53 hs määrittelemällä uudelleen todisteen vaiheet [82] [83] .
Nykyiset tunnetut ylemmät ja alemmat pisteet 4 × 4 × 4 -suulakkeelle eri mittareissa näkyvät taulukossa:
mittareita | hs | hw | hb | qs | qw | qb |
---|---|---|---|---|---|---|
pienempi arvio | 32 | 35 | 29 | 37 | 41 | 33 |
huippuarvio | 53 | 55 | 53 | ? | ? | ? |
Megaminx on Rubikin kuution yksinkertaisin analogi dodekaedrin muodossa. 12-värisen Megaminxin konfiguraatioiden määrä on 1,01·10 68 .
Vuonna 2012 Herbert Kotsemba määritti Megaminxin jumalaluvun alarajaksi 45 kasvojen kiertoa minkä tahansa kulman läpi tai 55 kiertoa ±72° kulman läpi [84] [85] .
Vuonna 2016 Herbert Kotsemba paransi Megaminxin jumalaluvun alempaa arviota nostaen sen 48 kasvojen kiertoon millä tahansa kulmalla [86] .