Poincarén kartoitus

Dynaamisessa järjestelmäteoriassa , eräässä matematiikan haarassa , Poincarén kartta (myös peräkkäiskartta , ensimmäinen paluukartta ) on jonkin vaiheavaruuden alueen projektio itseensä (tai toiselle alueelle) järjestelmän liikeratoja (vaihekäyriä) pitkin.

Tarkastellaan jotakin pinnan osaa vaiheavaruudessa ( Poincarén leikkaus ) poikittain järjestelmän vektorikenttään nähden (eli ei kosketa kenttää; usein sanotaan yksinkertaisesti poikkisuuntainen ). Poikittaispisteestä vapautamme järjestelmän liikeradan . Oletetaan, että jossain vaiheessa lentorata ylitti poikittaissuuntaan uudelleen ensimmäistä kertaa; merkitään leikkauspisteen . Pisteen Poincarén kartoitus yhdistää ensimmäisen palautuspisteen . Jos vapautettu liikerata ei koskaan palaa poikittaissuuntaan, silloin Poincarén kartta on siinä pisteessä määrittelemätön.

Vastaavasti voidaan määritellä Poincarén kartoitus (peräkkäisyyskartoitus) ei vain poikittaissuunnassa itseensä, vaan myös poikittaiskuvauksesta toiseen.

Poincarén mappauksen iteraatiot jostain poikittaisesta itseensä muodostavat dynaamisen järjestelmän, jolla on diskreetti aika pienemmän ulottuvuuden vaiheavaruudessa. Tämän järjestelmän ominaisuudet liittyvät läheisesti alkuperäisen jatkuvan ajan järjestelmän ominaisuuksiin (esimerkiksi Poincarén kartan kiinteät ja jaksolliset pisteet vastaavat järjestelmän suljettuja lentoratoja). Siten syntyy yhteys toisaalta vektorikenttien ja niiden virtojen ja toisaalta kartoitusiteraatioiden välille. Poincarén kartta on tärkeä työkalu jatkuvan ajan dynaamisten järjestelmien tutkimiseen.

Katso myös

heijastava toiminto

Linkit