Parakompakti tila

Parakompakti avaruus on topologinen tila , johon mihin tahansa avoimeen kanteen voidaan kirjoittaa paikallisesti rajallinen avoin kansi.

Samanaikaisesti: topologisessa avaruudessa olevaa joukkojen perhettä kutsutaan paikallisesti äärelliseksi , jos jokaisessa pisteessä on lähiö , joka leikkaa vain äärellisen joukon perheen elementtejä ; joukkojen perhe kirjataan joukkojen perheeseen, jos jokainen perheen elementti sisältyy johonkin perheen elementtiin .) ${\mathcal {U}}$ $X$ $X$ $x\in X$ $X$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

Parakompaktia avaruutta kutsutaan parakompaktiksi Hausdorff-avaruudeksi . Parakompaktisuus on yksi monimuototeorian alkuvaatimuksista .

Jokainen Hausdorffin parakompakti tila on normaali . Tämä antaa meille mahdollisuuden rakentaa yhtenäisiä väliseinät parakompakteihin tiloihin , jotka ovat mielivaltaisen avoimen kannen alaisia.

Ominaisuudet

Parakompaktiuden läsnä ollessa tilan jotkin paikalliset ominaisuudet syntetisoidaan ja toteutetaan globaalisti. Erityisesti,
- jos parakompakti tila on paikallisesti mitattavissa, niin se on metrisoitavissa ;
- jos Hausdorff-avaruus on paikallisesti Cech-täydellinen ja parakompakti, se on Cech-täydellinen .
Parakompaktisuutta eivät peri mielivaltaiset aliavaruudet, mutta jokainen parakompaktin avaruuden suljettu aliavaruus on parakompaktinen avaruus.
Kahden parakompaktin tilan tulo ei välttämättä ole parakompakti tila.
Hausdorffin tilojen luokassa
- Käänteinen kuva parakompaktista avaruudesta täydellisen kartoituksen alla on parakompakti tila,
- Jatkuvan suljetun kartoituksen alla oleva parakompaktin tilan kuva on parakompakti tila.
Parakompakteja tiloja ovat erityisesti Lindelöf-tilat . Kaikkien jatkuvien reaalifunktioiden avaruudessa mielivaltaisessa Tikhonov-avaruudessa , jossa on pisteittäisen konvergenssin topologia, parakompaktisuus vastaa Lindolöfiä.
Jos Banach -avaruus heikon topologiassa on topologisesti generoitu jollakin siinä olevalla kompaktilla joukolla, se on parakompakti.
Kaikki mitattavat avaruudet ovat parakompakteja (Stonen lause).
- Parakompakti avaruus on metrisoitavissa silloin ja vain, jos sillä on laskettavan kertaluvun kanta, eli kanta, jonka mikä tahansa pienenevä elementtijono sisältää minkä tahansa pisteen , muodostaa välttämättä kannan kyseisessä pisteessä. $x\in X$
Kaikki kompaktit ovat parakompakteja , mutta
- Mutta kaikki paikallisesti kompaktit Hausdorffin tilat eivät ole parakompakteja.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Laskevasti parakompakti avaruus on topologinen avaruus, johon mikä tahansa laskettava avoin kansi voidaan kirjoittaa paikallisesti äärellisellä avoimella kannella.

Heikosti parakompakti avaruus (metakompakti, pointwise paracompact) on topologinen avaruus, johon mikä tahansa avoin kansi voidaan kirjoittaa pisteittäin äärellisellä avoimella kannella.

Voimakkaasti parakompakti (hypokompakti) avaruus on topologinen tila, johon mihin tahansa avoimeen kanteen voidaan kirjoittaa tähtiäärinen avoin kansi.

Subparakompakti avaruus (F σ -seulottu) on topologinen avaruus, johon mikä tahansa avoin kansi voidaan kirjoittaa suljetulla σ-paikallisesti äärellisellä kannella.

Kirjallisuus

Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.