Desimaali

Desimaaliluku on eräänlainen murtoluku, joka on tapa esittää reaalilukuja muodossa

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

missä

\pm

- murto-osamerkki : joko tai ,

+

-

,

- desimaalipilkku , joka toimii erottimena luvun kokonaislukujen ja murto-osien välillä ( IVY-maiden standardi ) [1] ,

d_{k}

- desimaalilukuja . Lisäksi pilkkua edeltävä numerosarja (sen vasemmalla puolella) on äärellinen (vähintään yksi numero), ja pilkun jälkeen (sen oikealla puolella) se voi olla joko äärellinen (erityisesti pilkun jälkeiset numerot voi olla poissa kokonaan) tai ääretön.

Esimerkkejä:

$123{,}45$ (desimaali lopussa)
Luvun esittäminen äärettömänä desimaalilukuna : $\pi$ $3{,}1415926535897...$

Desimaaliluvun arvo on reaaliluku $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

yhtä suuri kuin äärellisen tai äärettömän määrän termejä .

Reaalilukujen esittäminen desimaaliluvuilla on yleistys kokonaislukujen kirjoittamisesta desimaalimuodossa . Kokonaisluvun desimaalimuodossa ei ole desimaalipilkun jälkeisiä numeroita, joten esitys on sellainen

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

joka on sama kuin tämän luvun merkintä desimaalilukujärjestelmässä.

Äärelliset ja äärettömät desimaalit

Äärelliset murtoluvut

Desimaalilukua kutsutaan äärelliseksi , jos se sisältää äärellisen määrän numeroita desimaalipilkun jälkeen (erityisesti ei yhtään), eli sillä on muoto

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Määritelmän mukaan tämä murtoluku edustaa lukua

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

On helppo nähdä, että tämä luku voidaan esittää muodon tavallisena murto -osana , jonka nimittäjä on kymmenen potenssi. Sitä vastoin mikä tahansa luku muodossa , jossa on kokonaisluku ja ei-negatiivinen kokonaisluku, voidaan kirjoittaa äärellisenä desimaalilukuna. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $s$ $s$

Jos tavallinen murto-osa pelkistetään redusoitumattomaan muotoon, sen nimittäjä näyttää tältä . Siten seuraava lause reaalilukujen edustavuudesta äärellisinä desimaalilukuina pätee. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Lause. Reaaliluku voidaan esittää äärellisenä desimaalilukuna, jos ja vain jos se on rationaalinen ja kun se kirjoitetaan redusoitumattomaksi murtoluvuksi , nimittäjällä ei ole muita alkujakajia kuin ja . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Äärettömät murtoluvut

Ääretön desimaali

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

edustaa määritelmän mukaan reaalilukua

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Tämä sarja konvergoi , olipa ei-negatiivinen kokonaisluku ja desimaaliluku mikä tahansa . Tämä väite johtuu siitä, että sen osasummien jono (jos murto-osan etumerkki pudotetaan) on yläpuolella luvun rajaama (katso positiivisten etumerkkien sarjojen konvergenssin kriteeri ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Reaalilukujen esitys desimaalilukuina

Siten mikä tahansa äärellinen tai ääretön desimaaliluku edustaa jotakin hyvin määriteltyä reaalilukua. Jäljelle jää seuraavat kysymykset:

Voidaanko mikä tahansa reaaliluku esittää desimaalilukuna?
Onko tämä ainoa edustus?
Mikä on algoritmi luvun hajottamiseksi desimaaliluvuiksi?

Nämä ongelmat on korostettu alla.

Algoritmi luvun laajentamiseksi desimaaliluvuksi

Algoritmi desimaaliluvun muodostamiseksi, joka on sen esitys, on kuvattu alla. $\alpha$

Tarkastellaanpa tapausta ensin . Jaa koko lukuviiva kokonaislukupisteillä yksikköpituisiksi segmenteiksi. Harkitse segmenttiä , joka sisältää pisteen ; erikoistapauksessa, kun piste on kahden vierekkäisen segmentin loppu, valitsemme oikean segmentin muodossa . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alpha$ $\alpha$ $I_0$

Jos merkitsemme ei-negatiivista kokonaislukua, joka on segmentin vasen pää , kautta , voimme kirjoittaa: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

Seuraavassa vaiheessa jaamme segmentin kymmeneen yhtä suureen osaan pisteillä $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9

ja katsoa, että segmenttien pituus , jolla kohta sijaitsee ; siinä tapauksessa, että tämä piste on kahden vierekkäisen segmentin loppu, valitsemme jälleen oikean näistä kahdesta segmentistä . $1/10$ $\alpha$

Kutsutaan tätä segmenttiä . Se näyttää: $I_1$

I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\oikea]

Jatkamme samalla tavalla lukuviivan tarkennusta ja peräkkäin pisteen sijainnin tarkentamista . $\alpha$

Seuraavassa vaiheessa, jossa on pisteen sisältävä segmentti , jaamme sen kymmeneen yhtä suureen osaan ja valitsemme niistä segmentin , jolla piste sijaitsee ; siinä tapauksessa, että tämä piste on kahden vierekkäisen segmentin loppu, valitsemme oikean näistä kahdesta segmentistä . $Kohdassa 1}}$ $\alpha$ $Sisään}}$ $\alpha$

Jatkamalla tätä prosessia, saamme sarjan lomakkeen segmenttejä $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\right]

jossa on ei-negatiivinen kokonaisluku ja ovat kokonaislukuja, jotka täyttävät epätasa-arvon . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

Rakennetulla segmenttien sarjalla on seuraavat ominaisuudet: $I_{0},I_{1},\ldots$

Segmentit on sijoitettu peräkkäin toisiinsa: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Segmenttien pituus $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
Piste kuuluu sekvenssin kaikkiin segmentteihin $\alpha$

Näistä ehdoista seuraa, että on olemassa sisäkkäisten segmenttien järjestelmä , joiden pituudet ovat yleensä nolla kuten , ja piste on järjestelmän kaikkien segmenttien yhteinen piste. Tämä tarkoittaa, että segmenttien vasen päiden sekvenssi konvergoi pisteeseen (analoginen väite pätee myös oikeiden päiden sarjaan), ts. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\to\infty$ $\alpha$ $\alpha$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha

klo

n\to\infty

Tämä tarkoittaa, että rivi

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

konvergoi arvoon , ja siten desimaaliluku $\alpha$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

on esitys luvusta . Siten ei-negatiivisen luvun laajennus desimaalimurtoluvuksi löytyy. $\alpha$ $\alpha$

Tuloksena oleva desimaaliluku on rakenteeltaan ääretön. Tässä tapauksessa voi käydä niin, että tietystä luvusta alkaen kaikki desimaalipisteet desimaalipilkun jälkeen ovat nollia, eli murtoluvulla on muoto

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

On helppo nähdä, että tämä mahdollisuus tapahtuu siinä tapauksessa, että jossain vaiheessa piste osuu yhteen todellisen suoran jakopisteen kanssa. Tässä tapauksessa hävitetään yhteensä $\alpha$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

nollatermejä, saadaan, että luku voidaan esittää myös äärellisellä desimaaliluvulla $\alpha$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

Yleisesti ottaen on selvää, että kun lisäämme minkä tahansa määrän nollia (mukaan lukien ääretön) desimaaliluvun loppuun desimaalipilkun jälkeen, emme muuta murtoluvun arvoa. Näin ollen tässä tapauksessa luku voidaan esittää sekä äärettömällä että äärettömällä desimaaliluvulla (saatu ensimmäisestä määrittämällä ääretön määrä nollia). $\alpha$

Näin ollen ei-negatiivisen tapauksessa . Negatiivisen luvun tapauksessa tämän luvun desimaalimuodossa voit ottaa sen vastakkaisen positiivisen luvun esityksen miinusmerkillä otettuna. $\alpha$ $\alpha$

Yllä oleva algoritmi antaa tavan laajentaa mielivaltainen reaaliluku desimaaliluvuksi. Tämä todistaa seuraavan

Lause. Mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää desimaalilukuna.

Arkhimedesin aksiooman roolista

Annettu algoritmi reaaliluvun hajottamiseksi desimaaliluvuksi perustuu olennaisesti reaalilukujärjestelmän ominaisuuteen, jota kutsutaan Arkhimedesin aksioomaksi .

Tätä ominaisuutta käytettiin algoritmissa kahdesti. Heti rakentamisen alussa valittiin kokonaisluku siten, että reaaliluku on välillä ja seuraava kokonaisluku : $a_{0}$ $\alpha$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z))

Tällaisen kokonaisluvun olemassaolo on kuitenkin vielä todistettava: ei voida sulkea pois esimerkiksi sitä mahdollisuutta, että olipa kokonaisluku mikä tahansa , epäyhtälö aina tapahtuu . Jos tämä tapaus olisi tapahtunut, tarvittavaa määrää ei tietenkään olisi löytynyt. $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alpha$ $a_{0}$

Tämä mahdollisuus suljetaan tarkasti pois Arkhimedesen aksioomalla, jonka mukaan numerosta riippumatta on aina sellainen kokonaisluku , että . Nyt numeroiden joukosta otetaan pienin, jolla on omaisuus . Sitten $\alpha$ $n$ $n>\alpha$ $k=1,\ldots ,n$ $k>\alpha$

k-1\leqslant \alpha<k

Haluttu numero löytyy: . $a_{0}=k-1$

Toisen kerran Arkhimedesen aksioomaa käytettiin implisiittisesti todisteena sekvenssin segmenttien pituuksien nollaan pyrkimisestä : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

Tämän väitteen tiukka todiste perustuu Arkhimedesin aksioomaan. Todistakaamme ekvivalenttisuhde

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

Arkhimedesen aksiooman mukaan, mikä tahansa reaaliluku on, luonnollisten lukujen sarja ylittää sen, alkaen jostain luvusta. Ja koska kaikilla on eriarvoisuutta $E>0$ $1,2,\lpistettä$ $n$

10^{n}>n

silloin sarja ylittää myös , alkaen samasta numerosta. Numeerisen sekvenssin rajan määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

Desimaaliesityksen epäselvyys

Yllä olevan algoritmin avulla voimme rakentaa mille tahansa reaaliluvulle tätä lukua edustavan desimaaliluvun. Saattaa kuitenkin käydä niin, että sama luku voidaan esittää desimaalilukuna toisella tavalla. $\alpha$ $\alpha$

Lukujen esittämisen epäyksilöllisyys desimaalimurtolukuna seuraa jo siitä triviaalista tosiasiasta, että kohdistamalla desimaalipilkun oikealle puolelle nollia loppumurtoon saadaan muodollisesti erilaisia, samaa lukua edustavia desimaalimurtolukuja.

Vaikka katsoisimmekin, että murtoluvut, jotka saadaan antamalla äärellinen tai ääretön määrä nollia toisilleen, ovat identtisiä, joidenkin reaalilukujen esitys jää silti epäyksilöiseksi.

Harkitse esimerkiksi desimaalilukua

0{,}99\lpistettä

Määritelmän mukaan tämä murtoluku on luvun esitys . Tämä luku voidaan kuitenkin esittää myös desimaalilukuna . Todellakin, todelliset luvut ovat erilaisia, jos ja vain, jos niiden väliin voidaan lisätä yksi reaaliluku lisää, joka ei ole sama kuin itsensä .Mutta kolmatta lukua ei voida lisätä väliin ja . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\lpistettä$ $a,b$ ${\näyttötyyli a,b.}$ $0{,}99\lpistettä$ $1{,}00\lpistettä$

Tämän esimerkin voi yleistää. Voidaan osoittaa, että murtoluvut

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

jossa , edustavat samaa reaalilukua. $a_{n}\neq 9$

Osoittautuu, että tämä yleinen esimerkki tyhjentää kaikki epäselvyydet reaalilukujen esittämisessä desimaalilukuina. Samalla emme tietenkään ota huomioon murtolukujen triviaalisia tapauksia, jotka saadaan antamalla toisilleen lopussa nollia, samoin kuin murtolukuparia ja . $+ 0{,}00 \lpistettä$ $- 0{,}00 \lpistettä$

Nämä tulokset voidaan tiivistää seuraavaan lauseeseen.

Lause. Mikä tahansa reaaliluku , joka ei ole esitettävissä muodossa , jossa on kokonaisluku, on ei-negatiivinen kokonaisluku, sallii yksilöllisen esityksen desimaaliluvun muodossa; tämä murto-osa on ääretön. $\alpha$ $p/10^{s}$ $s$ $s$

Mikä tahansa lomakkeen reaaliluku voidaan esittää desimaalilukuna useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos , niin se voidaan esittää sekä äärettömänä desimaalilukuna että äärettömänä murtolukuna, joka saadaan antamalla nollia desimaalipilkun jälkeiseen loppuun, ja äärettömänä murtolukuna, joka päättyy . Lukua voidaan esittää lomakkeen murto-osina sekä muodon murto-osina . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alpha = 0$ $+0{,}00 \lpistettä$ $-0{,}00 \lpistettä$

Kommentti. Äärettömät murtoluvut, jotka päättyvät numeroihin,yllä olevassa algoritmissa aina vasen segmentti oikean sijasta. $999\ldots$

Ylimääräiset nollat ja virhe

On huomattava, että likimääräisten laskelmien kannalta desimaalimurtoluvun kirjoittaminen nollien lopussa ei ole aivan identtistä kirjoittamisen kanssa ilman näitä nollia.

On yleisesti hyväksyttyä , että jos virhettä ei ilmoiteta, niin desimaaliluvun absoluuttinen virhe on yhtä suuri kuin puolet viimeisen tyhjennetyn numeron yksiköstä, ts. numero saadaan pyöristyssääntöjen mukaisesti [2] . Esimerkiksi merkintä "3.7" tarkoittaa, että absoluuttinen virhe on 0,05. Ja merkinnässä "3.700" absoluuttinen virhe on 0.0005. Muita esimerkkejä:

"25" - absoluuttinen virhe on 0,5 (myös tällainen tietue voi tarkoittaa tarkkaa arvoa 25: esimerkiksi 25 kappaletta);
"2,50∙10⁴" - absoluuttinen virhe on 50;
"25,00" - absoluuttinen virhe on 0,005.

Jaksolliset desimaalit

Määritelmä ja ominaisuudet

Ääretöntä desimaalimurtolukua kutsutaan jaksolliseksi , jos sen desimaalipilkun jälkeinen numerosarja jostain paikasta alkaen on jaksollisesti toistuva numeroryhmä. Toisin sanoen jaksollinen murtoluku on desimaaliluku, joka näyttää tältä

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\alaviiva {b_{1}\ldots b_{l}}\alaviiva {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

Tällainen murto-osa kirjoitetaan yleensä muotoon

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Toistuvaa numeroryhmää kutsutaan murto- osan jaksoksi , tämän ryhmän numeroiden lukumäärä on jakson pituus. $b_{1}\ldots b_{l}$

Jos jaksollisessa murtoluvussa jakso seuraa välittömästi desimaalipistettä, niin murto-osaa kutsutaan puhtaaksi jaksolliseksi . Jos desimaalipilkun ja ensimmäisen jakson välissä on lukuja, murto-osaa kutsutaan sekajaksoiseksi ja desimaalipilkun jälkeistä lukuryhmää pisteen ensimmäiseen merkkiin kutsutaan murtoluvun esijaksoksi . Esimerkiksi murto-osa on puhdas jaksollinen, kun taas murto-osa on sekoitettu jaksollinen. $1{,}(23) = 1{,}2323 \lpistettä$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \lpistettä$

Jaksollisten murtolukujen pääominaisuus, jonka vuoksi ne eroavat koko desimaalimurtojoukosta, on, että jaksolliset murtoluvut ja vain ne edustavat rationaalilukuja . Tarkemmin sanottuna seuraava ehdotus pätee.

Lause. Mikä tahansa ääretön jaksollinen desimaaliluku edustaa rationaalilukua. Päinvastoin, jos rationaalinen luku laajenee äärettömäksi desimaaliluvuksi, tämä murtoluku on jaksollinen.

Voidaan osoittaa, että puhtaasti jaksolliset murtoluvut vastaavat rationaalilukuja, joissa nimittäjällä ei ole alkujakajia ja , sekä rationaalilukuja , joissa nimittäjällä on vain alkujakajia ja . Vastaavasti sekoitetut jaksolliset murtoluvut vastaavat pelkistymättömiä murto -osia , joiden nimittäjällä on sekä yksinkertaisia jakajia tai että ne eroavat niistä. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Jaksottaisen desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi

Oletetaan, että annetaan jaksollinen desimaalimurto , jonka jakso on 4. Huomaa, että kertomalla se luvulla saadaan desimaalipilkun jälkeen iso murto , jolla on samat numerot. Vähentämällä kokonaislukuosa ( ), jolla murtoluku kasvoi kertolaskunsa jälkeen, saadaan alkuperäinen murtoluku ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10 000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $x$
$10000x-1998=x$
$\Nuoli oikealle$
$10000x-x=1998$
$\Nuoli oikealle$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

Desimaalien ääntäminen

Venäjän kielellä desimaalimurtolukuja luetaan näin: ensin lausutaan koko osa, sitten sana "koko" (tai "koko"), sitten murto-osa, ikään kuin kokonaisluku koostuisi vain tästä osasta, eli osoittajasta murto-osa on kvantitatiivinen feminiininen luku (yksi, kaksi, kahdeksan jne.), ja nimittäjä on järjestysluku (kymmenes, sadas, tuhannes, kymmenen tuhannesosa jne.).

Esimerkiksi: 5.45 - viisi kokonaista, neljäkymmentäviisi sadasosaa.

Pidempien lukujen kohdalla desimaaliosa jaetaan joskus tuhannen potenssiin . Esimerkiksi: 0,123 456 - nolla piste, satakaksikymmentäkolme tuhannesosaa, neljäsataaviisikymmentäkuusi miljoonasosaa.

Käytännössä, usein rationaalisempana, vallitsee kuitenkin tällainen ääntäminen: koko osa, liitto "ja" (usein jätetty pois), murto-osa.

Esimerkiksi: 5.45 - viisi ja neljäkymmentäviisi; (viisi neljäkymmentä viisi).

Sano toistuville desimaaliluvuille jaksoa edeltävä luvun osa (ilmaistuna kokonaislukuna, jos kyseessä on puhdas toistuva murto, tai viimeisenä desimaalina, jos kyseessä on sekoitettu toistuva murto) ja lisää sitten luku jaksoon . Esimerkiksi: 0.1(23) - nolla kokonaislukua, yksi kymmenesosa ja kaksikymmentäkolme jaksossa; 2,(6) ovat kaksi kokonaislukua ja kuusi jaksossa.

Historia

Desimaalimurtoluvut löydettiin ensimmäisen kerran Kiinassa noin 3. vuosisadalta jKr. e. laskettaessa laskentalaudalla ( suanpan ). Kirjallisissa lähteissä desimaalimurtoluvut kuvattiin jonkin aikaa perinteisessä (ei-positio-) muodossa, mutta vähitellen paikkajärjestelmä korvasi perinteisen [4] .

Timuridilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) julisti tutkielmassaan "Aritmeettisen avain" olevansa desimaalimurtolukujen keksijä, vaikka ne löytyivätkin eläneen Al-Uklidisin teoksista. 5 vuosisataa aikaisemmin [5] .

Euroopassa desimaalimurtoluvut kirjoitettiin alun perin kokonaislukuina jossain sovitussa asteikossa; esimerkiksi Regiomontanuksen (1467) trigonometriset taulukot sisälsivät arvoja, jotka oli korotettu kertoimella 100 000 ja pyöristetty sitten lähimpään kokonaislukuun. Ensimmäiset desimaalimurtoluvut Euroopassa otti käyttöön Immanuel Bonfils noin vuonna 1350, vuonna 1579 Viet yritti edistää niiden käyttöä . Mutta ne yleistyivät vasta Simon Stevinin teoksen "The Tenth" (1585) ilmestymisen jälkeen [6] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Pilkkumerkki " " - desimaalipilkku - desimaaliluvun kokonaisluvun ja murto -osien erottimena on otettu käyttöön Venäjällä, Euroopan maissa (paitsi Isossa-Britanniassa ja Irlannissa) ja monissa muissa maissa, joihin niillä on ollut kulttuurinen vaikutus. Englanninkielisissä maissa ja maissa, joihin heillä on ollut vaikutusta, käytetään tähän pistemerkkiä " " - desimaalipilkku ( englanniksi desimaalipiste ), ja pilkkua käytetään ryhmittelemään luvun kokonaislukuosan numerot tähän käytetään kolmea desimaalin pistettä (ns . numeroryhmien erotin , Venäjällä katkeamatonta välilyöntiä ""). Esimerkiksi desimaaliluku venäläisessä standardissa näyttää tältä: , ja englannin standardissa tältä: . Katso lisätietoja kohdasta Desimaalierotin . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333,333.333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1954. - 412 s.
↑ Tietosanakirja lapsille . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematiikka. — ISBN 5-8483-0015-1 . , sivu 179
↑ Jean-Claude Martzloff . Kiinan matematiikan historia. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematiikka keskiaikaisessa islamissa // Egyptin, Mesopotamian, Kiinan, Intian ja islamin matematiikka: lähdekirja . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M .: Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 s. — (Tieteellinen ja elämäkertakirjallisuus).