Pinnat, joilla on vakiokeskikaarevuus

Pinnat, joilla on vakiokeskikaarevuus — pintojen luokka, joka mallintaa saippuakalvojen pintoja, jotka erottavat alueet, joilla on kiinteä paine-ero. Erityistapauksessa, jos paine on yhtä suuri molemmilla puolilla, malli määrittää minimipinnat .

Määritelty sileiksi pinnoiksi , joiden keskikaarevuus on vakio .

Tutkimuksen historia

Vuonna 1841 Charles-Eugène Delaunay osoitti, että ainoat pyörimispinnat , joilla oli vakio keskikaarevuus, olivat ne, jotka saatiin pyörittämällä kartioiden vierittämisellä saatuja käyriä. Näitä ovat taso, sylinteri, pallo, katenoidi , unduloid ja nodoidi . [yksi]

Vuonna 1853 J. Gelle osoitti, että jos B :n kompaktilla tähtipinnalla on vakio keskikaarevuus, se on standardipallo. [2] Myöhemmin Aleksandr Danilovich Aleksandrov osoitti, että kompaktin upotetun pinnan, jolla on vakio keskikaarevuus, on oltava pallo. [3] $S$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $H\neq 0$
- Tämän perusteella Heinz Hopf ehdotti vuonna 1956, että minkä tahansa upotetun kompaktin suuntautuvan hyperpinnan, jolla on vakio keskikaarevuus β, on oltava pyöreä pallo. $\mathbb {R} ^{n}$
- Tämän olettamuksen kumosi vuonna 1982 Wu-Yi Xiang käyttämällä vastaesimerkkiä vuonna . $\R^4$
- Henry C. Wente rakensi vuonna 1984 niin kutsutun Wente-toruksen , upotuksen torukseen , jonka keskikaarevuus on vakio. [neljä] $\mathbb {R} ^{3}$

On olemassa menetelmiä esimerkkijoukon muodostamiseksi. [5] Erityisesti liimausmenetelmillä voidaan yhdistää mielivaltaisesti pintoja, joiden keskikaarevuus on vakio. [6] [7] [8]

Mix osoitti, että ei ole sisäkkäisiä pintoja, joilla on vakio keskikaarevuus ja joiden toinen pää on . [9] Korevaar, Kusner ja Solomon osoittivat, että täydellisen upotetun pinnan päät ovat asymptoottisia unduloideja . [kymmenen] $\mathbb {R} ^{3}$

Sovellukset

Saippuakalvojen lisäksi pinnat, joilla on vakiokeskikaarevuus, näkyvät kaasu-neste-rajapinnoina superhydrofobisella pinnalla. [yksitoista]

Arkkitehtuurissa tasaisen keskikaarevuuden pintoja käytetään ilmatuetuissa rakenteissa , kuten puhallettavissa kupuissa ja koteloissa, sekä nestemäisten orgaanisten muotojen lähteenä. [12]

Muistiinpanot

↑ C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl. 6 (1841), 309-320.
↑ JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl. 18 (1853), 163-167
↑ AD Aleksandrov, Ainutlaatuisuuslause pinnoille suuressa, V. Vestnik, Leningrad Univ. 13, 19 (1958), 5 - 8, Amer. Matematiikka. soc. Trans. (Sarja 2) 21, 412-416.
↑ Wente, Henry C. (1986), Vastaesimerkki H. Hopfin olettamukselle. , Pacific Journal of Mathematics vol. 121: 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 > Arkistoitu 10. kesäkuuta 20. Way Machinessa .
↑ Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Samantasoiset vakion kaarevuuspinnat. Comm. Anaali. Geom. 15:5 (2008) s. 985-1023. ArXiv math.DG/0509210.
↑ N. Kapouleas. Täydelliset vakiokeskikäyräpinnat euklidisessa kolmessa avaruudessa Arkistoitu 29. tammikuuta 2022, Wayback Machine , Ann. /. Matematiikka. (2) 131 (1990), 239-330
↑ Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, liimaus ja moduulit epäkompakteihin geometrisiin ongelmiin. 1996 arXiv: dg-ga/9601008
↑ I. Sterling ja H.C. Wente, Äärillisen ja äärettömän tyyppisten vakiokeskikaartaisten monikuplien olemassaolo ja luokittelu Arkistoitu 22. toukokuuta 2019 Wayback Machinessa , Indiana Univ. Matematiikka. J. 42 (1993), nro. 4, 1239-1266.
↑ Meeks WH, Vakiokeskikaartaisten upotettujen pintojen topologia ja geometria , J. Diff. Geom. 27 (1988) 539-552.
↑ Korevaar N., Kusner R., Solomon B., Kokonaisten upotettujen pintojen rakenne vakiokeskikaarteella, J. Diff. Geom. 30 (1989) 465-503.
↑ EJ Lobaton, T. R. Salamon. Vakiokeskimääräisten kaarevuuspintojen laskeminen: Sovellus paineistetun nesteen kaasu-neste-rajapinnalle superhydrofobisella pinnalla. Journal of Colloid and Interface Science. osa 314, numero 1, 1. lokakuuta 2007, sivut 184-198
↑ Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Monikerroksisten vapaamuotoisten rakenteiden geometria arkkitehtuuria varten. ACM Transactions on Graphics – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007, osa 26, painos 3, heinäkuu 2007 Artikkelinro. 65