Kaarevuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kaarevuus on kollektiivinen nimi useille ominaisuuksille ( skalaari , vektori , tensori ), jotka kuvaavat yhden tai toisen geometrisen "objektin" ( käyrä , pinta , Riemannin avaruus jne.) poikkeamaa vastaavista "litteistä" objekteista ( suora viiva , taso , euklidinen avaruus jne. ) jne.).

Yleensä kaarevuus määritellään jokaiselle "objektin" pisteelle ja ilmaistaan jonkin toisen asteen differentiaalilausekkeen arvona . Joskus kaarevuus määritellään kiinteässä mielessä, esimerkiksi mittana , tällaisia määritelmiä käytetään "objekteille", joiden sileys on vähentynyt. Pääsääntöisesti identtinen kaarevuuden häviäminen kaikissa kohdissa merkitsee tutkittavan "objektin" paikallista yhteensopivuutta "litteän" kohteen kanssa.

Tämä artikkeli antaa vain muutamia yksinkertaisia esimerkkejä kaarevuuden käsitteen määritelmistä.

Käyrän kaarevuus

Parametrisesti annetun käyrän kaarevuus

Olkoon säännöllinen käyrä -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa parametroituna sen pituudella . Sitten ${\näyttötyyli \gamma (s)}$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|

kutsutaan käyrän kaarevuudeksi pisteessä , tässä tarkoittaa toista derivaatta suhteessa . Vektori $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(s)$ $s$

k={\ddot {\gamma }}(s)

kutsutaan kaarevuusvektoriksi pisteessä . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Ilmeisesti tämä määritelmä voidaan kirjoittaa uudelleen tangenttivektorin suhteen : $\tau (s)={\piste {\gamma }}(s)$

k={\piste {\tau }}(s),

jossa yksi piste kirjaimen yläpuolella tarkoittaa ensimmäistä derivaatta s:n suhteen.

Parametrisesti annetun käyrän kaarevuus ilmaistaan yleensä kaavalla

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

jossa ja vastaavasti merkitsevät sädevektorin ensimmäistä ja toista derivaatta vaaditussa pisteessä parametrin suhteen (tässä tapauksessa kolmiulotteisen avaruuden käyrälle voidaan ymmärtää vektoritulo , käyrälle kahdessa -ulotteinen avaruus, pseudoskalaaritulo ja mielivaltaisen ulottuvuuden avaruuden käyrälle ulkotulo ) . $\gamma '$ $\gamma ''$ $\gamma$ $\ajat$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Käyrän ( ) kaarevuuden käänteislukua kutsutaan kaarevuussäteeksi ; se osuu yhteen vierekkäisen ympyrän säteen kanssa käyrän tietyssä pisteessä. Tämän ympyrän keskustaa kutsutaan kaarevuuden keskipisteeksi . Jos käyrän kaarevuus on nolla, niin yhtenäinen ympyrä rappeutuu suoraksi viivaksi. $r=1/\kappa$

Käyrät tasossa

Tason käyriä varten on lisäkaava, jota käytetään tapauksissa, joissa käyrää ei anneta parametrisesti, vaan yhden yhtälön täyttävien pisteiden lokuksena .

Olkoon säännöllinen käyrä euklidisella tasolla, jonka koordinaatit on annettu yhtälöllä , jossa on kahdesti jatkuvasti differentioituva funktio . Sitten sen kaarevuus pisteessä lasketaan kaavalla [1] $\gamma$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2)))).

Erityisesti, jos käyrä on annettu yhtälöllä , sen kaarevuus lasketaan kaavalla $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

Jotta käyrä yhtyisi jonkin suoran janan tai koko suoran kanssa, on välttämätöntä ja riittävää, että sen kaarevuus (tai kaarevuusvektori) kaikissa pisteissä on identtisesti nolla. $\gamma$

Tasokäyrän suuntautunut kaarevuus

Jos käyrä on samassa tasossa, sen kaarevuudelle voidaan antaa etumerkki. Tällaista kaarevuutta kutsutaan usein suuntautuneeksi . Tämä voidaan tehdä seuraavasti: jos pisteen liikkuessa kasvavan parametrin suuntaan tangenttivektorin pyöriminen tapahtuu vastapäivään, kaarevuus katsotaan positiiviseksi, jos myötäpäivään, se on negatiivinen. Orientoitu kaarevuus ilmaistaan kaavalla

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

Kaarevuuden etumerkki riippuu parametrisoinnin valinnasta, eikä sillä ole geometristä merkitystä. Geometrinen merkitys on kaarevuuden merkin muutos tietyn pisteen läpi (ns. käännepiste ) tai merkin säilyminen tietyllä alueella (käyrän kuperuuden luonne).

Mekaaninen tulkinta

Intuitiivisesti kaarevuus voidaan ymmärtää seuraavalla mekaanisella tulkinnalla

Oletetaan , että materiaalipiste liikkuu tasaista käyrää pitkin. Tällöin kiihtyvyyden normaalikomponentin moduuli on $a$

a=\kappa \cdot v^{2},

missä on käyrän kaarevuus, on pisteen nopeus [3] . $\kappa$ $v$

Huomaa, että käyrän kaarevuutta käytetään fyysisenä suureena , jonka ulottuvuus on käänteinen pituusyksikölle (SI-järjestelmässä se on 1/m).

Pinnan kaarevuus

Olkoon kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa säännöllinen pinta . $\Phi$

Olkoon se pointti $s$ $\phi ,$

T_{p}

on pisteen tangenttitaso

\Phi

p,

n

on yksikkö normaali pisteessä

\Phi

p,

a on läpi kulkeva taso ja jokin yksikkövektori sisään

\piirakka}

n

e

T_p.

Käyrää , joka saadaan tason ja pinnan leikkauspisteenä, kutsutaan pinnan normaalileikkaukseksi tietyssä suunnassa $\gamma_e,$ $\piirakka}$ $\phi ,$ $\Phi$ $s$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

jossa tarkoittaa skalaarituloa ja on kaarevuusvektori pisteessä , kutsutaan pinnan normaaliksi kaarevuudeksi suunnassa . Merkkiin asti normaali kaarevuus on yhtä suuri kuin käyrän kaarevuus . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $s$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Tangenttitasossa on kaksi kohtisuoraa suuntaa ja sellainen, että normaali kaarevuus mielivaltaisessa suunnassa voidaan esittää ns. Eulerin kaavalla : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

missä on kulma tämän suunnan ja välillä , a ovat arvot ja normaalit kaarevyydet suunnissa ja , niitä kutsutaan pääkaareviksi , ja suunnat ja ovat pinnan pääsuunnat pisteessä . Pääkaarevuus on normaalien kaarevuuden ääriarvot . Normaalien kaarevuuden rakenne tietyssä pinnan pisteessä on kätevästi kuvattu graafisesti käyttämällä Dupinin indikaattoria . $\alpha$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $s$

Arvo

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

kutsutaan pinnan keskimääräiseksi kaarevuudeksi . [4] (Joskus käytetään toista määritelmää: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Arvo

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kutsutaan Gaussin kaarevuudeksi tai pinnan kokonaiskaareudeksi .

Gaussin kaarevuus on pintojen sisäisen geometrian kohde; etenkään se ei muutu isometristen taivutusten vaikutuksesta.

Katso myös

Kirjallisuus

Vilenkin, N. On kaarevuus , Kvant. - 1992. - Nro 4 . - S. 2-9, 15 . (Venäjän kieli)
Gromov M. Kaarevuuden merkki ja geometrinen merkitys. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2000. - 128 s. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Differentiaaligeometria (6. painos). Moskova: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Differentiaaligeometrian kurssi (3. painos). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. Kaarevuudesta // Kvant . - 1989. - Nro 5 . - S. 15-21, 42 .

Muistiinpanot

↑ Goldman, R. Implisiittisten käyrien ja pintojen kaarevuuskaavat // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , nro 7 . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Korkeamman matematiikan lyhyt kurssi. Proc. yliopistojen tuki. M., "Korkeampi. koulu" c. 368 . Haettu 26. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 15. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 s.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Differentiaaligeometrian ja topologian lyhyt kurssi. - M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Differentiaaligeometria, 2. vuosi .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236