Laguerren polynomit

Laguerren polynomit
yleistä tietoa
Kaava	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\oikea)$
Skalaarituote	$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Verkkotunnus	$x\ge0$
lisäominaisuuksia
Differentiaaliyhtälö	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Nimetty	Laguerre, Edmond Nicolas

Matematiikassa Edmond Laguerren ( 1834–1886 ) mukaan nimetyt Laguerren polynomit ovat Laguerren yhtälön kanonisia ratkaisuja :

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

joka on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö . Fysikaalisessa kinetiikassa näitä samoja polynomeja (joskus normalisointiin asti) kutsutaan yleensä Sonin- tai Sonin-Laguerre-polynomeiksi [1] . Laguerren polynomeja käytetään myös Gauss-Laguerren kvadratuurikaavassa muodon integraalien numeeriseen laskemiseen:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

Laguerren polynomit, joita yleensä merkitään , ovat polynomien sarja, joka voidaan löytää käyttämällä Rodriguesin kaavaa $L_0,\;L_1,\;\ldots$

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n} _{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\valitse k}x^k.

Nämä polynomit ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden pistetulon kanssa :

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Laguerren polynomien sekvenssi on Schaefferin sekvenssi .

Laguerren polynomeja käytetään kvanttimekaniikassa, yhden elektronin atomin Schrödingerin yhtälön ratkaisun säteittäisosassa.

Laguerren polynomeille on muitakin sovelluksia.

Muutama ensimmäinen polynomi

Seuraavassa taulukossa luetellaan muutama ensimmäinen Laguerren polynomi:

Laguerren polynomit voidaan määritellä rekursiivisella kaavalla:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad \forall k\geqslant 1,

määritellään kaksi ensimmäistä polynomia seuraavasti:

L_0(x)=1,

L_1(x)=1-x.

Yleistetyt Laguerren polynomit ovat yhtälön ratkaisuja: $L_n^a(x)$

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

niin . $L_n(x)=L_n^0(x)$

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit