Jakautuvuuden merkkejä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Jaotuvuusmerkki on algoritmi , jonka avulla voit suhteellisen nopeasti määrittää, onko luku ennalta määrätyn luvun kerrannainen [1] . Jos jaollisuusmerkki antaa sinun selvittää paitsi luvun jaollisuuden ennalta määrätyllä luvulla, myös jaon loppuosan, sitä kutsutaan equiresistance - merkiksi .

Pääsääntöisesti jakomerkkejä käytetään manuaaliseen laskemiseen ja tietyssä paikkalukujärjestelmässä (yleensä desimaalilukujärjestelmässä ) esitettyihin lukuihin.

Jao-, tasajakautuvuuden ja tasajakautuvuuden käsitteet

Jos kahdelle kokonaisluvulle ja on olemassa sellainen kokonaisluku, että $a$ $b$ $q,$

b\,q=a,

silloin sanomme, että luku on jaollinen $a$ $b.$

Kaksi kokonaislukua ja sanotaan olevan yhtä jaollisia , jos molemmat ovat jaollisia luvulla tai kumpikaan eivät ole jaollisia luvulla [2] . $a$ $b$ $m,$ $m,$

Kaksi kokonaislukua ja ovat yhtä kaukana toisistaan jaettuna luonnollisella luvulla (tai ovat vertailukelpoisia modulo ), jos ne antavat saman jäännöksen jaettuna luvulla, eli on sellaisia kokonaislukuja , $a$ $b$ $m$ $m$ $m$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Rakentamisen yleiset periaatteet

Vaaditaanko määrittämään , onko jokin luonnollinen luku jaollinen toisella luonnollisella luvulla. Otetaan tätä varten luonnollisten lukujen sarja: $A$ $m.$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\pisteet ,\,A_{n},

sellainen että:

$A_{0}=A;$
sekvenssin jokaisen jäsenen määrää edellinen;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\pisteet ,\,n-1;$
sekvenssin viimeinen jäsen on pienempi kuin $m,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
kaikilla sekvenssin jäsenillä on sama jäännös, kun se jaetaan $m.$

Sitten jos tämän sekvenssin viimeinen termi on nolla, niin se on jaollinen : lla , muuten se ei ole jaollinen. $A$ $m,$ $A$ $m$

Menetelmä (algoritmi) tällaisen sekvenssin muodostamiseksi on haluttu kriteeri jaettavaksi matemaattisesti , se voidaan kuvata funktiolla, joka määrittää sekvenssin jokaisen seuraavan jäsenen edellisestä riippuen: $m.$ $f(x),$

A_{i}=f\vasen(A_{{i-1}}\oikea),\quad i=1,\,2,\,3,\,\pisteet ,\,n,

jotka täyttävät seuraavat ehdot:

kun arvoa ei ole määritelty; $x<m$ $f(x)$
kun arvo on luonnollinen luku; $x\geqslant m$ $f(x)$
jos sitten $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
jos silloin ja vastaavat $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

Jos sekvenssin kaikkien jäsenten tasajakoisuusvaatimus korvataan tiukemmalla tasajäännösvaatimuksella, tämän sekvenssin viimeinen jäsen on jakojäännös ja menetelmä (algoritmi) tällaisen sekvenssin muodostamiseksi on merkki equi -residuality by Johtuen siitä, että jakojäännöksen yhtäläisyydestä nollalla jaettuna se seuraa jaollisuutta : lla, mitä tahansa equiresistance-merkkiä voidaan käyttää jaollisuuden merkkinä. Matemaattisesti vaatimusmerkki voidaan kuvata myös funktiolla, joka määrittää sarjan jokaisen seuraavan jäsenen edellisestä riippuen: $A$ $m,$ $m.$ $m$ $m$ $f(x),$

A_{i}=f\vasen(A_{{i-1}}\oikea),\quad i=1,\,2,\,3,\,\pisteet ,\,n,

jotka täyttävät seuraavat ehdot:

kun arvoa ei ole määritelty; $x<m$ $f(x)$
kun arvo on luonnollinen luku; $x\geqslant m$ $f(x)$
jos sitten $x\geqslant m,$ $f(x)<x;$
jos sitten ja ovat yhtä kaukana toisistaan jaettuna $x\geqslant m,$ $f(x)$ $x$ $m.$

Toiminto

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

ja sen avulla rakennettu sekvenssi näyttää tältä:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\pisteet

Itse asiassa tähän funktioon perustuva equiresistanssimerkin käyttö vastaa vähennyksellä jakamista.

Toinen esimerkki on hyvin tunnettu jaollisuuden merkki (samoin kuin equi-residuality) 10:llä.

Jos luvun desimaaliesityksen viimeinen numero on nolla, tämä luku on jaollinen 10:llä; lisäksi viimeinen numero on alkuperäisen luvun jakamisen loppuosa 10:llä.

Matemaattisesti tämä yhtäläisyyden merkki voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon tarpeen selvittää muodossa esitetyn luonnollisen luvun jäännös 10:llä jakamisen jälkeen $A,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Sitten jäännös 10:llä jakamisen jälkeen on . Tätä tasajäännösmerkkiä kuvaava funktio näyttää tältä $A$ $a$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

On helppo todistaa, että tämä toiminto täyttää kaikki edellä mainitut vaatimukset. Lisäksi sen avulla rakennettu sekvenssi sisältää vain yhden tai kaksi jäsentä.

On myös helppo nähdä, että tällainen merkki on keskittynyt nimenomaan luvun desimaalimuotoon - joten jos esimerkiksi käytät sitä tietokoneessa, joka käyttää luvun binäärimerkintää, niin saadaksesi selville , Ohjelman pitäisi ensin jakaa 10:llä. $A$ $a$ $A$

Seuraavia lauseita käytetään useimmiten vaatimusmerkkien ja jaettavissa olevien merkkien rakentamiseen:

Kaikille kokonaisluvuille ja luonnollisille kokonaisluvuille ja ovat yhtä kaukana toisistaan jaettuna $q$ $m$ $A$ $A+mq$ $m.$
Mille tahansa kokonaisluvulle luonnolliset , kokonaisluvut ja ovat yhtä jaollisia , jos kokonaisluku on alkuluku $q$ $m$ $A$ $pA+mq$ $m,$ $s$ $m.$

Esimerkki jao- ja ekvivaalisuusmerkkien muodostamisesta seitsemällä

Osoittakaamme näiden lauseiden soveltamista esimerkin avulla jao- ja yhtäläisyyden kriteereistä $m = 7.$

Olkoon kokonaisluku annettu

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Sitten oletetaan ensimmäisestä lauseesta , että se on yhtä kaukana jaettuna 7:llä luvulla $q=-a_{1}$ $A$

A'=A-7a_{1}=\vasen(10-7\oikea)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Kirjoitetaan tasajäännösmerkin funktio muotoon:

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{{min} }.\end{cases}}

Ja lopuksi on vielä löydettävä sellainen , että millä tahansa ehto täyttyy Tässä tapauksessa ja funktio saa lopullisen muodon: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Ja toisesta lauseesta, olettaen ja koprime 7:n kanssa , seuraa, että se on yhtäjaollinen luvulla 7 luvun kanssa $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $A$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Ottaen huomioon, että luvut ja ovat yhtä jaollisia 7:llä, kirjoitamme jakomerkin funktion muodossa: $A'$ $\left|A'\oikea|$

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{cases}}

f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {tapaukset}}

Jaotuvuuden merkit desimaalilukujärjestelmässä

Testaa jaollisuus 2:lla

Luku on jaollinen kahdella , jos ja vain jos sen viimeinen numero on jaollinen 2:lla, eli se on parillinen .

Ominaisuutta vastaava toiminto (katso kohta "Yleiset rakenneperiaatteet" ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

3:lla jaollinen merkki

Luku on jaollinen kolmella , kun sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Esimerkiksi luku 159 on jaollinen kolmella, koska sen numeroiden summa 1 + 5 + 9 = 15 on jaollinen kolmella.

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}{\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut ovat 154, ja ne ovat yhtä kaukana, kun ne jaetaan kolmella. $1+5+4=10$ $1+0=1$

Testi jaollisuudelle 4:llä

Luku on jaollinen 4 :llä, kun kaksi viimeistä numeroa ovat nollia tai jaollisia 4:llä. Esimerkiksi 14676 on luvun 76 viimeiset numerot ja luku 76 on jaollinen 4:llä: 76:4=19. Kaksinumeroinen luku on jaollinen 4:llä, jos ja vain, jos kaksinkertainen ykkösten paikan numero, lisättynä ykkösten kohdalle, on jaollinen neljällä. Esimerkiksi luku 42 ei ole jaollinen 4:llä, koska se ei ole jaollinen jaollinen 4:llä. $2\cdot 4+2=10$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 87 ja ovat yhtä kaukana jaettuna 4:llä. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

Yksinkertaisempi muotoilu: Luku on jaollinen 4:llä, jos viimeinen numero on 0, 4, 8 ja toiseksi viimeinen numero on parillinen; tai jos viimeinen numero on 2, 6 ja toiseksi viimeinen numero on pariton.

Viidellä jaollinen merkki

Luku on jaollinen viidellä , jos ja vain jos se päättyy numeroon 0 tai 5.

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

6:lla jaollinen merkki

Luku on jaollinen 6 : lla jos ja vain, jos se on jaollinen sekä 2:lla että 3:lla (eli jos se on parillinen ja sen numeroiden summa on jaollinen kolmella).

Toinen jaollisuuden merkki: luku on jaollinen 6:lla silloin ja vain, jos neljä kertaa ykkösten numeroon lisättyjen kymmenien lukumäärä on jaollinen 6:lla.

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 73 ja ovat yhtä kaukana, kun ne jaetaan 6:lla. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

7:llä jaollinen merkki

Ominaisuus 1 :

luku on jaollinen 7 :llä, kun kolme kertaa yksikkönumeroon lisättyjen kymmenien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Esimerkiksi 154 on jaollinen 7:llä, koska 7 on jaollinen luvulla 1001 on jaollinen 7:llä, koska 7 on jaollinen $15\cdot 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 87 ja ovat yhtä kaukana jaettuna 7:llä. $8\cdot 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Ominaisuuden 1 muutokset :

a) otetaan ensimmäinen numero vasemmalla, kerrotaan 3:lla, lisätään seuraava ja kaikki toistetaan alusta: esimerkiksi 154 :lle. Lisäksi jokaisessa vaiheessa voit ottaa jakojäännöksen 7:llä: jakojäännös 1, jäännös 0. Molemmissa tapauksissa lopullinen luku on yhtä kuin jakojäännös, kun se jaetaan 7:llä alkuperäisen luvun kanssa. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) jos jäljellä olevista kymmenistä vähennetään kaksi kertaa luvun yksikkömäärä ja tulos on jaollinen 7:llä, niin luku on 7:n kerrannainen. Esimerkiksi: 784 on jaollinen 7:llä, koska 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

Ominaisuus 2 :

luku on jaollinen 7:llä, jos ja vain jos kolminumeroisten (ykkösistä alkaen) parittomien ryhmien muodostavien lukujen algebrallisen summan moduuli on jaollinen merkillä "+" ja parillisella "-"-merkillä. 7. Esimerkiksi 138 689 257 on jaollinen 7:llä, koska 7 on jaollinen $|138-689+257|=294.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}

Merkki 3 :

jos tietyn luvun kolmesta viimeisestä numerosta koostuvan luvun ja tietyn luvun jäljellä olevista numeroista muodostetun luvun (eli ilman kolmea viimeistä numeroa) välinen ero on jaollinen 7:llä, niin tämä luku on jaollinen 7:llä Esimerkki numerosta 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

8:lla jaollinen merkki

Luku on jaollinen 8 :lla, kun viimeiset kolme numeroa ovat 8:lla jaollisia lukuja. Kolminumeroinen luku on jaollinen 8:lla, jos ja vain, jos numero on ykkösissä, plus kaksinkertainen numero kymmenien paikalla ja nelinkertainen satojen paikalla oleva numero on jaollinen 8:lla. Esimerkiksi 952 on jaollinen 8:lla, koska 8 on jaollinen $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 567 ja ovat yhtä kaukana, kun ne jaetaan 8:lla. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

9:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 9 :llä, kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä. Esimerkiksi luvun 12345678 numeroiden summa on jaollinen 9:llä, joten itse luku on myös jaollinen 9:llä. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 345 ja ovat yhtä kaukana, kun ne jaetaan 9:llä. $3+4+5=12$ $1+2=3$

10:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 10 :llä silloin ja vain, jos se päättyy nollaan .

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

11:llä jaollisuuden merkit

Ominaisuus 1: Luku on jaollinen 11 :llä silloin ja vain, jos parittomien paikkojen numeroiden summan ja parillisten numeroiden summan välisen eron moduuli on jaollinen 11:llä. Esimerkiksi 9 163 627 on jaollinen 11:llä, koska se on jaollinen luvulla 11. Toinen esimerkki on, että 99077 on jaollinen luvulla 11, koska se on jaollinen luvulla 11. $\vasen|(9+6+6+7)-(1+3+2)\oikea|=22$ $\vasen|(9+0+7)-(9+7)\oikea|=0$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \ ,n,

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

Etumerkki 2: luku on jaollinen 11:llä silloin ja vain, jos kahdella numerolla (yksiköistä alkavien) ryhmien muodostavien lukujen summa on jaollinen 11:llä. Esimerkiksi 103785 on jaollinen luvulla 11, koska 11 on jaollinen luvulla ja $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end {tapaukset}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 123456 ja ovat yhtä kaukana toisistaan, kun ne jaetaan 11:llä. $12+34+56=102$ $1+2=3$

13:lla jaollinen merkki

Etumerkki 1 : Luku on jaollinen 13 :lla, kun yksikköpaikassa oleva nelinumeroinen kymmenien lukumäärä on jaollinen 13:lla. Esimerkiksi 845 on jaollinen 13:lla, koska 13 on jaollinen $84+5\cdot 4=104$ $10+4\cdot 4=26.$

Merkki 2 : Luku on jaollinen 13:lla, kun yksikköpaikassa yhdeksänkertaisen luvun kymmenien lukumäärän ero jaetaan 13:lla. Esimerkiksi 845 on jaollinen 13:lla, koska 13 on jaollinen $84-9\cdot 5=39.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}

Ominaisuus 3 : Luku on jaollinen 13 :lla, jos tämän luvun kolmesta viimeisestä numerosta koostuvan luvun ja tämän luvun muista numeroista muodostetun luvun (eli ilman kolmea viimeistä numeroa) välinen ero on jaollinen 13:lla. Esimerkiksi 192218 on jaollinen 13:lla, joten kuten 218-192=26 ja 26 on jaollinen 13:lla.

17:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 17 :llä seuraavissa tapauksissa:

- kun yksikköpaikan kymmenien lukumäärän ja 5:llä kerrotun numeron erotuksen moduuli jaetaan 17:llä. Esimerkiksi 221 on jaollinen 17:llä, koska se on jaollinen luvulla 17. $\left|22-5\cdot 1\right|=17$

- kun yksikkönumeron kymmenien lukumäärän ja luvun 12:lla kerrotun summan moduuli on jaollinen 17:llä. Esimerkiksi 221 on jaollinen 17:llä, koska se on jaollinen luvulla 17. $\left|22+12\cdot 1\right|=34$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {tapaukset}}

19:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 19 :llä silloin ja vain, jos ykkösten paikkaan lisättyjen kymmenien määrä on jaollinen 19:llä. Esimerkiksi 646 on jaollinen 19:llä, koska 19 on jaollinen $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}

20:lla jaollinen merkki

Luku on jaollinen 20 :llä, jos ja vain, jos kahdesta viimeisestä numerosta muodostuva luku on jaollinen 20:llä.

Toinen muotoilu: luku on jaollinen 20:llä silloin ja vain, jos luvun viimeinen numero on 0 ja toiseksi viimeinen parillinen.

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

Testaa jaollisuutta 23:lla

Ominaisuus 1 : Luku on jaollinen 23 : lla silloin ja vain, jos kahdesta viimeisestä numerosta muodostuvan luvun kolminkertaiseksi lisättyjen satojen määrä on jaollinen 23:lla. Esimerkiksi 28842 on jaollinen 23:lla, koska 23 on jaollinen $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

Ominaisuus 2 : Luku on jaollinen 23:lla, jos ja vain, jos yksikköpaikassa olevaan numeroon lisättyjen kymmenien määrä kerrottuna 7:llä on jaollinen 23:lla. Esimerkiksi 391 on jaollinen 23:lla, koska se on jaollinen luvulla 23. $39+7\cdot 1=46$

Etumerkki 3 : Luku on jaollinen 23:lla silloin ja vain, jos satojen määrä, joka on lisätty kymmenillä paikan päällä olevaan numeroon kerrottuna 7:llä ja yksikön paikan numerolla kolminkertainen, on jaollinen 23:lla. Esimerkiksi 391 on jaollinen 23, koska se on jaollinen luvulla 23. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

25:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 25 :llä, jos ja vain, jos sen kaksi viimeistä numeroa ovat 25:llä jaollisia lukuja. Toisin sanoen numeroihin 00, 25, 50 tai 75 päättyvät luvut ovat jaollisia 25:llä.

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

27:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 27 :llä, jos ja vain, jos kolminumeroisten ryhmien muodostavien lukujen summa (alkaen ykkösistä) on jaollinen luvulla 27.

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end {tapaukset}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

29:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 29 :llä silloin ja vain, jos ykkösten kolminkertaiseksi lisättyjen kymmenien määrä on jaollinen 29:llä. Esimerkiksi luku 261 on jaollinen 29:llä, koska se on jaollinen luvulla 29. $26+3\cdot 1=29$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}

30:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 30 :llä silloin ja vain, jos se päättyy nollaan ja kaikkien numeroiden summa on jaollinen kolmella. Esimerkiksi: 510 on jaollinen 30:llä, mutta 678 ei.

31:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 31 :llä silloin ja vain, jos ykkösten lukumäärän ja kolmoisnumeron välisen eron moduuli on jaollinen 31:llä. Esimerkiksi luku 217 on jaollinen luvulla 31, koska se on jaollinen luvulla 31. $\left|21-3\cdot 7\right|=0$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

37:llä jaollinen merkki

Etumerkki 1: luku on jaollinen 37 :llä, jos ja vain jos jaettuna luku kolminumeroisiin ryhmiin (alkaen yksiköistä), näiden ryhmien summa on 37:n kerrannainen.

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end {tapaukset}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

Ominaisuus 2: Luku on jaollinen 37:llä, jos ja vain, jos satojen kolminkertaisen luvun moduuli, joka on lisätty kymmenien paikalla olevaan nelinkertaiseen numeroon, on jaollinen 37:llä, josta on vähennetty ykkösten numero, kerrottuna seitsemällä. Esimerkiksi luku 481 on jaollinen luvulla 37, koska 37 on jaollinen $\left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

Etumerkki 3: Luku on jaollinen 37:llä silloin ja vain, jos satojen summan moduuli, jossa on ykkösissä oleva numero kerrottuna kymmenellä miinus kymmenien paikan numero kerrottuna 11:llä, on jaollinen 37:llä. , luku 481 on jaollinen 37:llä, joten kuinka jakaa 37:llä $\left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{cases}}

41:llä jaollinen merkki

Etumerkki 1 : luku on jaollinen 41 :llä silloin ja vain, jos kymmenien määrän ja yksikköpaikan nelinkertaisen luvun eron moduuli on jaollinen luvulla 41. Esimerkiksi 369 on jaollinen luvulla 41, koska se on jaollinen 41. $\left|36-4\cdot 9\right|=0$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

Merkki 2 : tarkistaaksesi, onko luku jaollinen 41:llä, se tulee jakaa oikealta vasemmalle 5-numeroisiksi puoliksi. Sitten jokaisessa kasvossa kerrotaan ensimmäinen numero oikealla 1:llä, kerrotaan toinen numero 10:llä, kolmas numero 18:lla, neljäs 16:lla, viides 37:llä ja lisätään kaikki tuloksena olevat tuotteet. Jos tulos on jaollinen 41:llä, silloin ja vain silloin itse luku on jaollinen 41:llä.

On olemassa muitakin (kätevämpiä) kriteerejä jaettavaksi 41:llä, katso 41 (luku) .

50:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 50 :llä silloin ja vain, jos sen kahdesta vähiten merkitsevästä desimaaliluvusta muodostuva luku on jaollinen 50:llä.

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin.

59:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 59 :llä silloin ja vain, jos ykkösnumeroon lisättyjen kymmenien määrä kerrottuna 6:lla on jaollinen 59:llä. Esimerkiksi 767 on jaollinen 59:llä, koska 59 jakaa $76+6\cdot 7=118$ $11+6\cdot 8=59.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}

79:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen 79 :llä silloin ja vain, jos yksikkönumeroon lisättyjen kymmenien määrä kerrottuna 8:lla on jaollinen 79:llä. Esimerkiksi 711 on jaollinen 79:llä, koska 79 on jaollinen luvulla 79 . $71+8\cdot 1=79$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}

99:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen luvulla 99 , jos ja vain, jos kahdella numerolla (yksiköistä alkavien) ryhmien muodostavien lukujen summa on jaollinen luvulla 99. Esimerkiksi 12573 on jaollinen luvulla 99, koska 99 on jaollinen luvulla $1+25+73=99.$

Ominaisuutta vastaava toiminto:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}

Tämä funktio asettaa jakomerkin lisäksi myös equiresistancen merkin. Esimerkiksi luvut 123456 ja ovat yhtä kaukana toisistaan, kun ne jaetaan luvulla 99. $12+34+56=102$ $1+2=3$

101:llä jaollinen merkki

Luku on jaollinen luvulla 101 , jos ja vain jos niiden lukujen algebrallisen summan moduuli, jotka muodostavat parittomat kaksinumeroiset (yksittäisistä alkaen) ryhmiä, jotka on otettu +-merkillä ja parilliset "-"-merkillä, on jaollinen. luvulla 101. Esimerkiksi 590547 on jaollinen luvulla 101, koska se on jaollinen luvulla 101 $\vasen|59-5+47\oikea|=101.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=\sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Jakavuuskoe 1091

Luku on jaollinen luvulla 1091, jos ja vain jos ero kymmenien lukumäärän ja yksikkönumerokertojen 109 välillä on jaollinen luvulla 1091. Esimerkiksi 18547 on jaollinen luvulla 1091, koska 1854 - 7 * 109 = 1091 on jaollinen luvulla 1091.

Yleiset jaottelumerkit

Jaotuvuuden merkki lukujärjestelmän kanta-asteen jakajalla

Jos joillekin luonnollisille luvuille ja luku on jaollinen luonnollisella luvulla, niin mikä tahansa peruslukujärjestelmään kirjoitettu kokonaisluku on yhtä kaukana alemmista numeroistaan muodostuvasta luvusta. Tämän ominaisuuden avulla voit rakentaa merkin jako- ja equiresistanssista numerojärjestelmän kanta-asteen jakajalle. $t$ $n$ $t^{n}$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Esimerkiksi desimaalilukujärjestelmässä tämän avulla voit rakentaa jaollisuuden merkkejä luvuilla 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 jne.

Merkki jaettavaksi jakajalla $t^{n}-1$

Jos joillekin luonnollisille luvuille ja luku on jaollinen luonnollisella luvulla, niin mikä tahansa perusjärjestelmään kirjoitettu kokonaisluku on yhtä jaollinen lukujen summalla, joka muodostuu jakamalla numeroryhmiin , alkaen pienimmästä. Tämä ominaisuus mahdollistaa kokeen jaottelun $t$ $n$ $t^{n}-1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\oikea)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{cases}}

Esimerkiksi desimaalilukujärjestelmässä tämän avulla voit rakentaa jaollisia merkkejä luvuilla 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 jne.

Merkki jaettavaksi jakajalla $t^{n}+1$

Jos joillekin luonnollisille luvuille ja luku on jaollinen luonnollisella luvulla, niin mikä tahansa peruslukujärjestelmään kirjoitettu kokonaisluku on yhtäjaollinen lukujen vuorottelevan summan moduulilla, joka muodostuu jakamalla numeroryhmiin , alkaen pienimmästä. Tämä ominaisuus mahdollistaa kokeen jaottelun $t$ $n$ $t^{n}+1$ $m,$ $A,$ $t,$ $n$ $m.$

Tätä ominaisuutta vastaava toiminto on:

A=\sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\oikea)\,\vdots \,m,

F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}

Esimerkiksi desimaalilukujärjestelmässä tämän avulla voit rakentaa jaollisia merkkejä luvuilla 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 jne.

Pitkä jako

Algoritmin, joka tarkistaa luvun jaollisuuden jollain toisella luvulla jakamalla "sarakkeessa" käyntiaika on . Niinpä monissa tapauksissa niin kutsutut "jakokriteerit" eivät anna huomattavaa lisäystä suoritettujen perusoperaatioiden lukumäärässä. Poikkeuksena ovat muodon luvuilla jaettavat kriteerit , joiden ajoaika ei riipu tarkistettavan luvun koosta. $n$ $O(\log n)$ ${\displaystyle 2^{a}5^{b))$

Jaotuvuuden merkit muissa lukujärjestelmissä

Muiden lukujärjestelmien jakomerkit ovat samanlaisia kuin desimaalien. Erityisesti missä tahansa numerojärjestelmässä (numerot kirjoitetaan järjestelmässä, jossa työskentelemme tällä hetkellä):

Luku on jaollinen luvulla 10 n , jos se päättyy n noloihin.

Jos lukujärjestelmän kanta on 1 modulo jokin luku k (eli jäännös kannan jakamisesta k :llä on 1), niin mikä tahansa luku on jaollinen k :llä silloin ja vain, jos sen numeroiden summa on jaollinen k :llä ilman loput. Erityisesti:

luku on jaollinen luvulla 10 − 1, jos sen numeroiden summa on jaollinen luvulla 10 − 1;
jos lukujärjestelmän kanta on pariton, niin luku on jaollinen kahdella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kahdella.

Jos lukujärjestelmän kanta on yhtä suuri kuin k − 1 modulo jokin luku k , niin mikä tahansa luku on jaollinen k :llä silloin ja vain, jos parittomissa paikoissa olevien numeroiden summa on joko yhtä suuri kuin parillisten numeroiden summa tai eroaa siitä luvulla, joka on jaollinen k :lla ilman jäännöstä. Erityisesti:

luku on jaollinen 11:llä, jos parittomissa paikoissa olevien numeroiden summa on joko yhtä suuri kuin parillisten numeroiden summa tai eroaa siitä luvulla, joka on jaollinen 11:llä.

Jos lukujärjestelmän kanta on jaollinen jollakin luvulla k , niin mikä tahansa luku on jaollinen k :llä silloin ja vain, jos sen viimeinen numero on jaollinen k :llä . Erityisesti:

jos lukujärjestelmän kanta on parillinen, niin luku on jaollinen kahdella, jos sen viimeinen numero on jaollinen kahdella.

Katso myös

Pascalin testi on universaali jaollisuustesti, jonka avulla mikä tahansa kokonaisluku a ja b määrittää, onko a jaollinen b :llä . Tarkemmin sanottuna sen avulla voit saada lähes kaikki yllä mainitut ominaisuudet.

Kirjallisuus

Vorobjov N. N. Jakautuvuuden merkit . - 4. painos - M .: Nauka, 1988. - T. 39. - 94 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Muistiinpanot

↑ Käytännössä "suhteellisen nopea" tarkoittaa "nopeammin kuin varsinainen jako voitaisiin tehdä" samalla tavalla. Lisäksi tämän algoritmin tehokkuus riippuu suurelta osin lukujen esitysmuodosta ja käytettävissä olevista laskentaominaisuuksista.
↑ Vorobjov N. N. Jakautuvuuden merkit. - 4. painos, Rev. - M . : Nauka, 1988. - S. 42. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). — ISBN 5-02-013731-6 .