Nauti esimerkistä

Dynaamisten järjestelmien teoriassa Denjoyn esimerkki on esimerkki ympyrän diffeomorfismista , jolla on irrationaalinen kiertoluku , jolla on Cantorin invarianttijoukko (ja näin ollen se ei ole konjugoitu puhtaaseen kiertoon). M. Erman rakensi sitten esimerkkejä tällaisesta diffeomorfismista sileysluokassa ( eli Hölderin derivaatalla eksponentti ) mille tahansa . Tätä tasaisuutta ei voida lisätä enempää: diffeomorfismille Lipschitzin derivaatalla (ja jopa derivaatalla, jonka logaritmilla on rajoitettu vaihtelu) Denjoyn lause pätee, jonka mukaan tällainen diffeomorfismi, jolla on irrationaalinen rotaatioluku, on konjugoitu irrationaaliseen kiertoon (vastaavalla kiertonumero). $C^1$ $C^{1+\varepsilon }$ $C^1$ $\varepsilon$ $\varepsilon<1$

Rakentaminen

Esimerkki homeomorfismista

Yksinkertaisin esimerkki annetaan ympyrän homeomorfismista , jonka kiertoluku on irrationaalinen, mutta joka ei kuitenkaan ole minimaalinen . Tarkastellaan nimittäin kiertoa jonkin irrationaalisen kulman läpi ja valitse mielivaltainen aloituspiste . Harkitse sen kiertorataa (kaikille kokonaisluvuille , sekä positiivisille että negatiivisille). Tehdään seuraava järjestely: jokaisessa pisteessä leikataan ympyrä ja liitetään jonkin pituinen väli , jotta liitettyjen välien pituuksien summa konvergoi: $R$ $\alpha$ $x_{0}$ $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ $n$ $x_{n}$ $Sisään}$ $l_{n}>0$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .

Tällöin tällaisen liittämisen jälkeen saatu joukko on edelleen ympyrä, lisäksi sillä on luonnollinen Lebesgue-mitta (joka koostuu Lebesgue-mittasta leikatussa vanhassa ympyrässä ja Lebesgue-mitta liimatussa välissä), eli pituus - ja Näin ollen sileä rakenne. Laajentamalla karttaa mielivaltaisesti vanhasta ympyrästä siten, että se kartoittaa intervallin väliin , esimerkiksi valitsemalla jatkeeksi affiinikartan välillä - , saadaan uuden ympyrän homeomorfismi f, jolla on sama kiertonumero . Tällä homeomorfismilla on kuitenkin Cantorin invarianttijoukko (vanhan ympyrän pisteiden joukon sulkeminen), joten sitä ei voida konjugoida irrationaaliseen käännökseen. $R$ $Sisään}$ $I_{n+1}$ $Sisään}$ $I_{n+1}$ $\alpha$ $K$

Valitsemalla pituuksien sekvenssi siten, että relaatiosarja pysyy rajoitettuna kohdassa , affiinilaajentuneelle konstruktiolle voidaan saavuttaa konstruoidun homeomorfismin Lipschitzin ominaisuus. Kuitenkin, jotta muodostettu kartoitus olisi diffeomorfismi, segmenttien laajennuksen valinta tulisi tehdä hienovaraisemmin. ${\näyttötyyli l_{n))$ $l_{n}/l_{n+1}$ $n\to \pm \infty$ $Sisään}$

Esimerkki luokassa $C^1$

Luokan esimerkki on rakennettu siten, että Cantor-joukon konstruoidun diffeomorfismin derivaatta — alkuperäisen ympyrän pisteiden joukon sulkeminen — olisi yhtä suuri kuin 1 (koska Lebesguen mitta tässä joukossa säilyy konstruoidun diffeomorfismin ansiosta tämä on välttämätön ehto tällaiselle konstruktiolle). Siksi on tarpeen valita aikavälin vaihtorajoitukset , jotta seuraavat ehdot täyttyvät: $C^1$ $f$ $K$ $Sisään}$ $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}$

(D1) Intervallin päiden derivaatta on 1. $\varphi_n$ $Sisään}$
(D2) Kuten , kuvausten derivaatat pyrkivät tasaisesti olemaan 1. $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$

Viimeinen ehto on välttämätön, koska kasvun myötä välit kertyvät Cantor-sarjaan . Lisäksi on helppo nähdä, että nämä olosuhteet ovat riittävät -diffeomorfismiksi konstruoidulle kartalle . $n$ $Sisään}$ $K$ $f$ $C^1$

Lagrangen lauseen nojalla segmentillä on piste, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin . Toinen ehto edellyttää siksi, että sekvenssi on voimassa $Sisään}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ ${\näyttötyyli l_{n))$

\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)

Kuten käy ilmi, tämä ehto pituuksille -diffeomorfismin rakentamiselle on myös riittävä. Nimitykset valitaan seuraavasti: segmenteille ja , otetaan käyttöön koordinaatit, jotka tunnistavat ne segmenteillä ja vastaavasti ja kartoitus valitaan $C^1$ $\varphi_n$ $Sisään}$ $I_{n+1}$ $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ $\varphi_n$

\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)

missä

F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l} }.\qquad(***)

Yksinkertainen laskelma osoittaa sitten, että derivaatta poikkeaa missä tahansa pisteessä arvosta 1 enintään , joten ehto (*) riittää täyttämään toisen välttämättömän ehdon D2. Toisaalta on yhtä helppo nähdä, että myös ehto D1 täyttyy (tätä varten kaavan (***) tangentti kerrottiin l:llä: silloin pakonopeus äärettömyyteen päissä on , eikä se riipu intervallin l pituudesta - siksi koostumuksen erityispiirre koskee identiteettikartoitusta). $\varphi_n$ $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$ $1/x$

Minkä tahansa sekvenssin valinta, joka tyydyttää (*) konvergentin summan kanssa - esimerkiksi - päättää konstruktion. ${\näyttötyyli l_{n))$ $l_{n}=1/(1+n^{2}),$

Esimerkki luokassa $C^{1+\epsilon }$

Esimerkki luokassa on jo yllä kuvattu rakenne, mutta pituuksille tarkemmilla ehdoilla . Nimittäin, kuten on helppo nähdä, konstruoidulla diffeomorfismilla on Hölder-derivaata, jos ja vain jos kaikkien rajoitusten derivaatat ovat tasaisesti Hölderiä. Itse asiassa vertaamalla derivaattoja eri segmenttien pisteissä, tämä ero voidaan jakaa välipäätepisteiden derivaatoilla (koska derivaatta loppupisteessä on aina 1) ja käyttää kolmio-epäyhtälöä (pahimmassa tapauksessa kaksinkertaistamalla Hölderin vakion). . $C^{1+\varepsilon }$ ${\näyttötyyli l_{n))$ $\varphi_n$ $n$

Koska segmentillä on piste, jolla on derivaatta (Lagrange-lauseen mukaan) ja on piste, jossa derivaatta on yhtä suuri kuin 1 (tämä on loppupiste), Hölder-eksponentin Hölder-vakio ei voi olla pienempi kuin $Sisään}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ $\varepsilon$

(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_ {n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)

Siksi lauseke (L) on rajoitettava arvoon . Kuten käy ilmi, tämä rajallisuusehto on riittävä: eksplisiittinen laskelma osoittaa, että rajoitteen tarkka Hölder-vakio eroaa alemmasta estimaatista (L) enintään vakiokertoimella. Konstruktion viimeistelemiseksi on vielä esitettävä kaksipuolinen ääretön jono konvergenttisummalla, jonka lauseke (L) pysyy rajoitettuna. Esimerkki tällaisesta sekvenssistä on $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$ ${\näyttötyyli l_{n))$

l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m)),\quad m=2+|n|,

sopii kaikille yhtä aikaa . $\varepsilon<1$

Tällaisen sekvenssin esittäminen viimeistelee konstruktion - rakennettu diffeomorfismi kuuluu luokkaan minkä tahansa kanssa . $C^{1+\varepsilon }$ $\varepsilon <1$

Katso myös

Linkit

J. Milnorin muistiinpanot Introductory Dynamics Lectures , luento "Denjoyn lause" (katso §15B).

Kirjallisuus

A.B. Katok, B. Hasselblat. Johdatus dynaamisten järjestelmien teoriaan ja katsaus viimeaikaisiin saavutuksiin / Per. englannista. toim. A.S. Gorodetsky. M.: MTSNMO, 2005. ISBN 5-94057-063-1
M. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Julkaisut Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), s. 5-233.