Aukko (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Väli [1] , tai tarkemmin sanottuna lukujonon väli , on reaalilukujen joukko - siten, että jos tähän joukkoon kuuluu kaksi lukua, niin mikä tahansa niiden välissä oleva luku kuuluu myös tähän joukkoon [2] . Loogisia symboleja käyttämällä tämä määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

joukko on väli vain jos

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

missä on universaali kvantori . Seuraavat joukot ovat esimerkkejä aukoista: $\kaikille$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Aukotyypit

End span

Äärillinen väli koostuu joukosta lukuja, jotka on suljettu kahden luvun ja - välin päiden väliin , jotka itse voidaan sisällyttää sen koostumukseen tai ei [1] . Jos a ≤ b , niin tällaisen välin pituutta kutsutaan luvuksi . $a$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Suljettu (Suljettu) äärellinen intervalli

Jos , niin väliä kutsutaan segmentiksi [3] tai numeeriseksi segmentiksi ja sitä merkitään : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

Siinä tapauksessa segmentti rappeutuu yhden pisteen joukoksi ( singleton ). $a=b$

Open End Gap

Jos , niin väliä kutsutaan intervalliksi ja sitä merkitään : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a, b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

Avoimen aukon osoittamiseksi he käyttävät usein nimitystä sen sijaan N. Bourbakin ehdotuksesta . $(a, b)$ $]a,b[$

Puolisuljettu (puoliavoin) äärellinen jänneväli

aukkoja

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

niitä kutsutaan puolisegmenteiksi (ei pehmustettu segmentiksi) tai puolijaksoiksi .

Infinite Gap

Loputtomat välit

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

\quad \mathbb {R}

positiivisella tai negatiivisella puolella eivät rajoitu mihinkään reaalilukuihin. Tässä tapauksessa on kätevää olettaa, että näillä aikaväleillä on vääriä lukuja ja yhtenä päistä tai molemmista päistä olettaen, että relaatio on tosi mille tahansa reaaliluvulle . Äärettävien välien nimet ja nimet ovat samanlaisia kuin niillä on äärellisille intervalleille. Esimerkiksi yllä olevat joukot voidaan kirjoittaa uudelleen vastaavasti $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infty )

Lisäksi, koska ja määritelmän mukaan eivät sisälly näihin ryhmiin, ne eivät sisälly näihin ryhmiin. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Tyhjä tila

Tyhjä joukko on myös intervalli, joka kuuluu triviaalisti määritelmänsä alle: $\varno mitään$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

missä a < b .

Affinisesti laajennetun numerorivin intervallit

Reaalilukujoukkoa , jota on täydennetty elementeillä ja , kutsutaan laajennetuksi (tarkemmin sanottuna affinisesti laajennetuksi , jotta se erottuisi projektiivisesti laajennetusta suorasta ) reaaliviivaksi ja sitä merkitään , eli $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R}}$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Lisäksi mille tahansa reaaliluvulle määritelmän mukaan epäyhtälöt $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

Laajennetulle lukuviivalle otetaan käyttöön myös intervallien käsitteet - segmentit, intervallit, puolivälit [1] . Toisin kuin numerorivin vastaavat intervallit, ne voivat sisältää elementtejä . Esimerkiksi . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\))$

Terminologia

Venäjällä sanat interval ja interval vastaavat yhtä englanninkielistä sanaa interval . Englanninkielisessä kirjallisuudessa [4] ja ulkomaisten kirjojen käännöksissä sekä joissakin muissa venäjänkielisissä kirjoissa käytetään seuraavaa terminologiaa :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- suljettu väli ( englanniksi suljettu intervalli ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- avoin intervalli ( englanniksi open interval ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- puoliavoin (tai puolisuljettu) väli ( englanniksi half-open interval / half-closed interval ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- puoliavoin (tai puolisuljettu) intervalli ( englanniksi half-open interval / half-closed interval ).

Toisin sanoen tällaisessa terminologiassa niitä kaikkia kutsutaan intervalleiksi , mutta vain eri tyyppisiksi.

Vanhemmassa venäjänkielisessä kirjallisuudessa [5] "väli" sijaan käytetään sanaa intervalli : suljettu väli , avoin väli , puoliavoin (tai puolisuljettu ) väli .

Kuitenkin varsinkin oppikirjallisuudessa, jossa suurin määrä lauseita funktioille kompakteissa joukoissa, on suositeltavaa käyttää erillistä nimeä suljetulle välille yhdessä sanassa - segmentti [3] (termillä "segmentti" on enemmän geometrinen konnotaatio, kuten "lukujonon väli"). Tässä tapauksessa termi "väli" on määritetty vain avoimelle rakolle.

Katso myös avoimet ja suljetut sarjat.

Faktat

Väliarvon lause

Tunnettu Bolzano-Cauchyn lause jatkuvan funktion väliarvoista sanoo: minkä tahansa intervallin kuva jatkuvassa kartoituksessa on myös intervalli. Tässä lauseessa on yleistys mielivaltaisten topologisten avaruuksien tapaukseen: jatkuvan kuvauksen alla olevan yhdistetyn joukon kuva on yhdistetty. Numeeriset intervallit ja lisäksi vain ne ovat vain yhdistettyjä osajoukkoja . $\mathbb {R}$

Intervallioperaatiot

Käytännössä intervalli kuvaa usein mitatun arvon mahdollisten arvojen aluetta ( noin ). Aritmeettiset operaatiot voidaan määrittää tällaisten intervallien joukkoon. Sitten määrien laskelmien tulos voidaan liittää vastaaviin laskelmiin niiden aikaväleillä, jotka lopulta määräävät tuloksen mahdollisten arvojen välin.

Mittaa

Lukuviivan intervallit, samoin kuin tason suorakulmiot , suorakaiteen muotoiset suuntaissärmiöt avaruudessa jne., ovat yksi tärkeimmistä kohteista, joihin mittateoria perustuu , koska ne ovat yksinkertaisimpia joukkoja, joiden mitta ( pituus , pinta- ala , tilavuus , jne.) ) on helppo määrittää.

Yleistykset

Yhdistetyt sarjat

Reaaliviivan jännevälin yleistys on käsite yhdistetystä topologisesta avaruudesta . Oikealla linjalla jokainen yhdistetty joukko on aukko ja päinvastoin jokainen aukko on yhdistetty joukko.

Myös numerolinjan jänneväli on toisen, erikoisemman lineaarisen yhteyden käsitteen taustalla . Reaalilukujen joukossa sekä mielivaltaisen ulottuvuuden euklidisessa avaruudessa yhteyden ja lineaarisen yhteyden käsitteet ovat yhtenevät. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Kupera joukko

Toinen yleistys lukujonon välin käsitteelle on konveksin joukon käsite .

Puutteita osittain tilatuissa sarjoissa

Yleisimmässä tapauksessa intervallin käsite voidaan ottaa käyttöön missä tahansa joukossa, johon järjestyssuhde tuodaan . $<$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M. : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ Useissa lähteissä se on kuvattu intervalliksi ; esimerkiksi katso Interval // Kazakstan. Kansallinen tietosanakirja . - Almaty: Kazakstanin tietosanakirjat , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Venäjän kieli) (CC BY SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 2. Reaaliluvut // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 . Arkistoitu 23. kesäkuuta 2015 Wayback Machineen
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Matemaattisen analyysin perusteet. - 7. painos - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Iso venäläinen