Orliczin tila

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Orliczin avaruus on lineaarinen normiavaruus mitattavien funktioiden joukossa . Se on yleistys Lebesgue-avaruuksista . Ne on nimetty puolalaisen matemaatikon Władysław Orliczin mukaan, joka kehitti teoriansa .

Määritelmä

Määritelmä 1

Olkoon jokin kiinteä -funktio [1] , ja sen lisäksi [2] -funktio ; on joukko äärellisiä mittoja. $M$ $N$ $N$ $N$ $G$

Orlicz-avaruus on kokoelma kaikkia mitattavissa olevia funktioita , jotka täyttävät ehdot kaikille siten, että . $L_{M}^{*}$ $u(x)$ $(u,v)=\int _{G}u(x)v(x)dx<\infty$ $v(x)$ $\int _{G}N[u(x)]dx<\infty$

Orliczin avaruudessa Orliczin normi annetaan : . $\|u\|_{M}=\sup _{\rho (v,N)\leqslant 1}|\int _{G}u(x)v(x)dx|$

Määritelmä 2

Olkoon jokin kiinteä funktio. $M$ $N$

Orliczin avaruus on joukko mitattavissa olevia funktioita , joilla on rajallinen Luxemburgin normi $L_{M}^{*}$ $u(x)$ $\|u\|_{(M)}=\inf\{k:\int _{G}M\left({\frac {u(x)}{k}}\right)dx\leqslant yksi\}.$

Määritelmien vastaavuus

Orliczin normi ja Luxemburgin normi ovat samanarvoisia, nimittäin epätasa-arvo $u$ $\|u\|_{(M)}\leqslant \|u\|_{M}\leqslant 2\|u\|_{(M)}.$

Siten molemmat määritelmät määrittelevät saman avaruuden samalla topologialla .

Ominaisuudet

$L_{M}^{*}$ on Banach-tila .

$L_{M}^{*}$ erotettavissa silloin ja vain, jos funktio täyttää -ehdon [3] . $M$ $\Delta_2$

Orlicz-luokalla tarkoitamme sellaisten mitattavissa olevien funktioiden joukkoa, joiden Orlicz-avaruus osuu yhteen Orlicz-luokan kanssa, jos ja vain jos se täyttää -ehdon. ${\näyttötyyli L_{M))$ $\int _{G}M[u(x)]dx<\infty .$ $L_{M}^{*}$ ${\näyttötyyli L_{M))$ $M$ $\Delta_2$

Avaruus on suurin lineaarinen avaruus, joka on upotettu . Jos se täyttää -ehdon, . Muuten . $E_{M}$ ${\näyttötyyli L_{M))$ $M$ $\Delta_2$ $E_{M}=L_{M}=L_{M}^{*}$ $E_{M}\varsubsetneq L_{M}\varsubsetneq L_{M}^{*}$

$E_{M}$ on erotettavissa ja se on jatkuvien funktioiden tilan sulkeminen Orliczin normissa.

$L_{M}^{*}$ on k :n duaaliavaruus , jossa ja ovat toisiaan täydentäviä -funktioita. $E_{N}$ $M$ $N$ $N$

Jos [4] , niin . Päinvastoin on myös totta. $M_{1}\prec M_{2}$ $L_{M_{2}}^{*}\subset L_{M_{1}}^{*}$

Esimerkkejä

Jos sitten . $M(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\ p\in (1,\infty )$ ${\displaystyle L_{M}^{*}=L_{p))$

Muistiinpanot

↑ — funktio on funktio M(u), joka sallii esityksen , jossa on positiivinen , jatkuva oikealla funktiolle , ei-pienenevä funktio, joka täyttää ehdot: . $N$ $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt$ $p(t)$ $t>0$ $t\geqslant 0$ $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$
↑ Toisiaan täydentäviä kutsutaan - funktioita , jotka täyttävät yhtälöt , jossa on positiivinen , jatkuva oikealla , ei-laskeva funktio, joka täyttää ehdot: , ja on määritelty yhtälölle . $N$ ${\näyttötyyli M(u),N(v)}$ $M(u)=\int _{0}^{|u|}p(t)dt,N(v)=\int _{0}^{|v|}q(s)ds$ $p(t)$ $t>0$ $t\geqslant 0$ $p(0)=0,p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\infty$ $q(s)$ $s\geqslant 0$ $q(s)=\sup _{p(t)\leqslant s}t$
↑ -ehto: $\Delta_2$ $\exists x_{0}\ \exists k>0\forall x>x_{0}:\quad M(2x)\leqslant kM(x)$
↑ , jos niitä on , sellaisia $M_{1}\prec M_{2}$ $x_{0}$ $k$ ${\displaystyle M_{1}(x)\leqslant M_{2}(x)\quad \forall x>x_{0))$

Kirjallisuus

Krasnoselsky M. A., Rutitsky Ya. B. Kuperat funktiot ja Orlicz-avaruudet - M.: Fizmatlit , 1958. - S. 271.