Laskennallinen verkko

Laskettu (laskennallinen) ruudukko  on joukko pisteitä (ruudukon solmuja), jotka on määritetty jonkin funktion määrittelyalueella .

Differentiaali- ja integraaliyhtälöiden numeerisessa ratkaisussa käytetään laskentataulukoita . Laskennallisen ruudukon rakentamisen laatu määrää suurelta osin yhtälön numeerisen ratkaisun onnistumisen (epäonnistumisen).

Luokittelu ja menetelmät laskennallisten ruudukoiden rakentamiseen

Proseduuria laskennallisen ruudukon rakentamiseksi voidaan pitää funktion määrittelyalueen ( fyysisen alueen ) yksi-yhteen-mappauksen rakentamisena jollekin laskenta-alueelle , jolla on yksinkertaisempi muoto.

Algebralliset verkostoitumismenetelmät

Algebralliset ruudukot rakennetaan ratkaisemalla algebrallisia yhtälöitä . Esimerkki yksinkertaisimmasta segmentille määritellystä ruudukosta on joukko {xk}={x1, x2 … xK}, missä xk=x1+dx*(k-1). dx:n arvoa kutsutaan tässä tapauksessa laskennallisen ruudukon askeleeksi . Algebrallisten menetelmien tärkeimmät edut ovat sisäisten verkkosolmujen jakauman hyvä hallinta ja niiden numeerisen toteutuksen korkea tehokkuus, mikä on erityisen tärkeää rakennettaessa adaptiivisia (laskennan aikana uudelleen konfiguroituja) ruudukoita. Algebrallisten menetelmien haittana on, että rajakatkot leviävät toimialueelle. Differentiaalimenetelmien käyttö mahdollistaa pääsääntöisesti tasaisempien silmien saamisen.

Differentiaaliset yhdistämismenetelmät

Verkkorakenne konformisten kartoitusmenetelmien avulla

Konformaalisten kartoitusten menetelmää käyttävien laskennallisten ristikoiden konstruointimenetelmien haittana on, että ne soveltuvat vain kaksiulotteisten ruudukoiden rakentamiseen.

Silmät, jotka liittyvät (yhdenmukaisesti) alueen rajaan

Yksinkertaisin tapa rakentaa laskennallinen hila on osioida avaruus pintajärjestelmällä, joka on yhtä kaukana standardikoordinaatistojärjestelmien peruspinnoista, mikä mahdollistaa ratkaisevien differentiaaliyhtälöiden kirjoittamisen yksinkertaistamisen merkittävästi. Interferenssikonseptin haittana on se, että ruudukko ei ole yhteydessä alueen rajojen muotoon - kun tarkastellaan mielivaltaisen muotofunktion määrittelyalueita, mikään koordinaattiviivoista ei ole samassa rajan kanssa, mikä johtaa reunaehtojen toteutuksen laadun heikkenemiseen ja (tai) laskenta-algoritmin äärimmäiseen monimutkaisuuteen ja siten koneajan kustannusten nousuun. Kaarevia ruudukkoviivoja käyttämällä on mahdollista saavuttaa funktion määritelmäalueen ( fyysinen alue ) ja ruudukkoviivojen rajojen yhteensopivuus, mikä mahdollistaa rajaehtojen kirjaamisen yksinkertaistamisen . Kuitenkin koordinaattien muunnoksen vuoksi ratkaistavassa yhtälössä esiintyy yleensä lisätermejä .

Strukturoidut (tavalliset) ruudukot

Tapauksissa, joissa ruudukon solmujen joukko on järjestetty , laskennallista ruudukkoa kutsutaan strukturoiduksi. Strukturoitujen verkkojen käyttö (verrattuna strukturoimattomiin) mahdollistaa pääsääntöisesti laskennan keston ja tarvittavan tietokoneen RAM -muistin lyhentämisen . Samanaikaisesti kaarevan säännöllisen ruudukon rakentamismenettely vaatii pääsääntöisesti paljon työvoimaa ja tietokoneresursseja verrattuna epäsäännöllisen ruudukon rakentamiseen.

Tavallinen ruudukko

Strukturoimattomat (epäsäännölliset) ruudukot

Strukturoimaton verkko

Ortogonaaliset ja ortogonaaliset silmät

Jotta differentiaaliyhtälön ratkaisu saataisiin vaaditulla tarkkuudella minimaalisilla tietokoneresursseilla, laskentaruudukolla on oltava useita ominaisuuksia. Erityisesti, kuten monien tutkijoiden kokemus osoittaa, laskennallisissa soluissa tulee olla pieni vino, eli laskennallinen ruudukko tulisi mahdollisuuksien mukaan ortogonalisoida. Moniulotteisen ortogonalisoidun laskennallisen ruudukon rakentamisen ongelma on muotoiltu funktionaalisen I=int(wQ dV) minimoimisen ongelmaksi, missä w on painofunktio, Q on ruudukon ortogonaalisuuden mitta. Q:n mittana voidaan käyttää koordinaattiruudukon viivojen tangenttien skalaaritulojen summaa. Voidaan osoittaa, että ortogonalisoidun laskennallisen ruudukon rakentamisen variaatioongelma on pelkistetty Poisson-differentiaaliyhtälöjärjestelmän raja-arvoongelmaksi. Kuten tiedetään, Poisson-yhtälöjärjestelmä annetuissa reunaehdoissa kuvaa lämmön jakautumista tarkasteltavassa tilavuudessa, mikä mahdollistaa tasaisten hilaviivojen saamisen myös tapauksissa, joissa fyysisen alueen rajat ovat mutkaisia. Maksimiperiaate, joka pätee elliptisille yhtälöille, takaa, että laskettujen koordinaattien maksimi- ja minimiarvot saavutetaan alueen rajoilla. Koska käytetään elliptistä yhtälöjärjestelmää, rajaehdoksi tulee määrittää joko ruudukon solmujen koordinaatit rajoilla (Dirichlet-ehto) tai koordinaattiviivojen kaltevuus rajoilla (Neumann-ehto).

Multigrid-menetelmä

Responsive Grids

Epäjatkuvien ratkaisujen ongelmissa (mukaan lukien yliäänikaasudynamiikan ongelmat) laskenta-alueelle on tunnusomaista monimutkaisen epähomogeenisen rakenteen monimittakaisten elementtien läsnäolo. Riittävän suurilla vyöhykkeillä on pienet tai kohtalaiset liuosparametrien gradientit. Samaan aikaan on suhteellisen kapeita alueita, joissa ratkaisuparametrien gradientit saavuttavat suuria arvoja. Nämä ovat shokkiaallot, kosketusten epäjatkuvuudet, rajakerrokset. Luotettavan numeerisen ratkaisun saamiseksi tämän tyyppisille ongelmille on tarpeen käyttää laskennallisia verkkoja, joissa on pieniä tilaaskeleita. Tällöin laskennalliset kustannukset kasvavat niin merkittäviksi, että tietotekniikan rajoitusten vuoksi ei aina ole mahdollista saada riittävän tarkkaa ratkaisua ongelmiin. Tällaisissa tapauksissa on toivottavaa käyttää dynaamisesti mukautuvia ruudukoita, jotka mahdollistavat tarvittaessa pienten spatiaalisten ruudukkovälien käytön numeeristen menetelmien tiukkojen vaatimusten täyttämiseksi, samalla kun laskentavaatimukset säilyvät kohtuullisina. Dynaamisesti adaptiivisten ristikoiden menetelmät ovat yksi tehokkaimmista lähestymistavoista numeerisen ratkaisun tarkkuuden parantamiseksi laskenta-alueilla, joissa on useita spatiaalisia asteikkoja, mikä kuvastaa ratkaisun epähomogeenista rakennetta. Dynaamisesti mukautuvien ruudukoiden menetelmien pääideana on pienentää solujen kokoa niillä laskenta-alueen alueilla, joilla tapahtuu suuria ratkaisuvirheitä. Koska useimmissa tapauksissa haluttua ratkaisua ei tunneta ja virhettä, joka on tietyn normin tarkan ja likimääräisen ratkaisun ero, on mahdoton määrittää, ratkaisun mittana käytetään useimmiten gradientteja tai ratkaisuparametrien eroja. virhe. Sopeutumisprosessissa on kaksi vaihetta: kriteerin työ ja varsinaiset sopeutumismenettelyt.

sopeutumismenettelyt. Kirjallisuudessa mainitaan seuraavat pääasialliset lähestymistavat: verkon täydellinen regenerointi; solujen paikallinen murskaus ja yhdistäminen; liikkuvat solmut. Verkon täydellinen regenerointi koostuu uuden verkon rakentamisesta käyttämällä vanhasta verkosta saatuja tietoja ja interpoloimalla ratkaisu uudelleen. Solmujen siirtämismenetelmä olettaa, että laskennallisen ruudukon kokonaismäärä on kiinteä. Niiden uudelleenjako suoritetaan myös ruudukon tiheyden lisäämiseksi alueilla, joissa liuoksen singulariteetit lokalisoidaan ja sen harvinaisuus, kun tällaisia ​​singulariteetteja ei ole. Laskennallisen ruudukon solujen paikallisen jakamisen ja yhdistämisen menetelmä rajoittuu lisäsolmujen sisällyttämiseen ruudukkoon ratkaisun singulaariteettien lokalisoinnin läheisyydessä poistamalla samanaikaisesti ylimääräisiä solmuja alueilla, joilla ratkaisu ei sisällä singulaariteettia. Kahdella äärimmäisellä menetelmällä on välttämätöntä ylläpitää laskentaruudukon vaadittua laatua.

Monilohkoruudukot

Kirjallisuus

Katso myös