Riemannilainen upotus

Riemannin upotus on Riemannin monistojen välinen upotus , joka on äärettömästi ortogonaalinen projektio .

Määritelmä

Olkoon ja olla Riemannin monistoja . Tasaista kartoitusta kutsutaan Riemannin upotukseksi , jos jollekin pisteelle on olemassa isometrinen lineaarinen upottaminen siten, että siinä on ortogonaalinen projektio. Tässä tarkoittaa kartoituksen differentiaalia pisteessä . $(M,g)$ $(N,h)$ $f\kaksoispiste (M,g)\to (N,h)$ $x$ $\imath _{x}\colon T_{f(x)}N\to T_{x}M$ $\imath _{x}\circ d_{x}f$ $d_{x}f$ $f$ $x$

Vektorin vektoria kutsutaan vaakasuuntaiseksi nostoksi . $X\in T_{{f(x)}}$ $\overline {X}=\imath _{x}(X)$ $X$

O'Neillin kaava

Olkoon Riemannilainen upotus. Tällöin kaarevuustensorin arvo voidaan laskea mille tahansa vektorikentille O'Neill-kaavalla $f\kaksoispiste N\ to M$ $X$ $Y$ $M$ $R_{M}$

\langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X)),{\overline {Y))){\overline {V)) ,{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline { V)),{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{ V},[{\overline {Y)),{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\ overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle

missä ovat kenttien vaakasuorat nostot ja on vektorikenttien Lie-hakasulkeen pystykomponentti . ${\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}$ ${\näyttötyyli X,Y,V,W}$ $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $\overline {X},\overline {Y}$ $N$

Erityisesti,

\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}(\overline {X},\overline {Y})\overline {Y},\overline {X}\rangle + {\tfrac 34}\left|[\overline {X},\overline {Y}]^{V}\right|^{2}

Muistiinpanot

$[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ on tensori, eli sen arvo pisteessä riippuu vain vaakasuuntaisten vektorien arvoista ja siinä pisteessä. $\overline {X}$ ${\overline {Y}}$

Seuraukset

Pisteen absoluuttinen arvo riippuu vain pisteestä sekä pisteen ja pisteen arvoista . $[\overline {X},\overline {Y}]^{V}$ $p\in N$ $s$ $X$ $Y$ $f(p)$
Jos Riemannin upotuksen kokonaisavaruudessa on poikkileikkauskaarevuus , niin sama pätee sen pohjaan. $\geqslant \kappa$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Alimetria on 1 - Lipschitz ja 1 - Colipschitz -kartoitus metristen tilojen välillä.

Kirjallisuus

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Johdatus Riemannin geometriaan. - Pietari: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .
Besse A. Einstein jakoputket. - M .: Mir, 1990. - ISBN 5-03-002066-7 . , osa 2, s. 326-379.