Vapaa hiukkanen

Vapaa hiukkanen on termi, jota käytetään fysiikassa viittaamaan hiukkasiin , jotka eivät ole vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa ja joilla on vain kineettistä energiaa .

Vapaiden hiukkasten kokoelma muodostaa ihanteellisen kaasun .

Määritelmän yksinkertaisuudesta huolimatta vapaan hiukkasen käsitteellä on fysiikassa erittäin tärkeä rooli, koska liikeyhtälö on ensinnäkin täytettävä vapaille hiukkasille.

Klassinen mekaniikka

Klassisessa fysiikassa vapaa hiukkanen säilyttää nopeusnsa ja vastaavasti liikemäärä säilyy . Vapaan hiukkasen kineettinen energia saadaan kaavoilla

$E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$ , missä m on hiukkasen massa ei-relativistisessa tapauksessa.
$E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$ , missä c on valon nopeus , relativistisessa tapauksessa.

Ei-relativistinen kvanttimekaniikka

Kvanttihiukkaset kuvataan Schrödingerin yhtälöllä

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\Delta \psi

Tämän yhtälön ratkaisut saadaan aaltofunktioiden superpositiolla, joilla on muoto

\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }

missä

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

$A_{\mathbf {k} }$ mikä tahansa kompleksiluku .

Aaltovektori on vapaan kvanttimekaanisen hiukkasen ainoa kvanttiluku . $\mathbf {k}$

Vapaa kvanttihiukkanen voi olla tilassa, jossa on tiukasti määritelty aaltovektori. Silloin sen liikemäärä on myös tiukasti määritelty ja yhtä suuri . Tässä tapauksessa myös hiukkasen energia on määritelty ja se on yhtä suuri kuin E. Kvanttihiukkanen voi kuitenkin olla myös sekatilassa , jossa liikemäärää tai energiaa ei ole määritelty. $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$

Vapaa partikkeli kaarevissa koordinaateissa

Vapaan hiukkasen Hamiltonin

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta

on verrannollinen Laplace-operaattoriin , jolla kaarevissa koordinaateissa sekä mielivaltaisessa Riemannin monistossa on muoto [1]

\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k))}\right)

Siten vapaan hiukkasen Hamiltonin kaarevuuskoordinaateissa on muoto: [2]

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i} }}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)

Klassisella Hamilton-funktiolla on muoto

H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k }

Tässä tapauksessa syntyy ei-triviaali järjestysongelma, joka voidaan ratkaista vain paikallisesti [3]

H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k }+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\oikea)

Relativistinen kvanttihiukkanen

Relativistisia kvanttihiukkasia kuvataan erilaisilla liikeyhtälöillä hiukkasten tyypistä riippuen. Elektroneille ja samalla niiden antihiukkasille , positroneille , pätee Diracin yhtälö . Tilassa, jossa on tietty liikemäärä p, hiukkasten energia on yhtä suuri kuin

{\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2))))

jossa "+"-merkki vastaa elektronia ja "-"-merkki vastaa positronia. Relativistiselle elektronille ilmestyy myös ylimääräinen kvanttiluku - spin .

Muut hiukkaset kuvataan omilla erityisillä yhtälöillä, esimerkiksi spinless hiukkanen kuvataan Klein-Gordonin yhtälöllä .

Huomautus

↑ Riemannin jakoputken Laplace-operaattoria kutsutaan Laplace-Beltrami-operaattoriksi .
↑ Flugge, 2008 , s. 36.
↑ Takhtajyan, 2011 , s. 146.

Kirjallisuus

Flygge Z. Kvanttimekaniikan ongelmat / Käännös englannista, toimittanut A.A. Sokolova . - M . : Kustantaja LKI, 2008. - T. 1. - 344 s.
Takhtadzhyan L.A. Kvanttimekaniikka matemaatikoille / Kääntänyt englannista Ph.D. S.A. Slavnov . - Toim. 2. — M. -Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", Izhevsk Computer Research Institute, 2011. - 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi