Yhteys (ei-kommutoiva geometria)

Kvanttijärjestelmien geometria (kuten ei-kommutatiivinen geometria ja supergeometria ) voidaan muotoilla moduulien ja algebroiden algebrallisesti . Moduulien kytkentä yleistää vektorinipujen lineaarisen yhteyden , joka on kirjoitettu yhteyteen osien - moduuliin . [yksi] $E\to X$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$

Kommutatiivinen geometria

Olkoon kommutatiivinen rengas ja -moduuli . Yhteydelle on useita vastaavia määritelmiä . [2] Antaa olla renkaan derivaatioiden moduuli . Yhteys -moduulissa määritellään -moduulien morfismaksi $A$ $P$ $A$ $P$ $D(A)$ $A$ $A$ $P$ $A$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

siten, että ensimmäisen kertaluvun differentiaalioperaattorit eivät täytä Leibnizin sääntöä $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

Yhteys moduulissa kommutatiivisen renkaan yli on aina olemassa. Yhteyden kaarevuus määritellään nolla-asteen differentiaalioperaattoriksi $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

Moduuliin kaikille . $P$ $u,u'\in D(A)$

Jos on vektorinippu, on yksi yhteen vastaavuus lineaaristen yhteyksien ja osien -moduulin yhteyksien välillä . Tässä tapauksessa vastaa kytkennän kovarianttidifferentiaalia $E\to X$ $\Gamma$ $E\to X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$ $\nabla$ $E\to X.$

Supergeometria

Kommutatiivisen renkaan yhteyden käsite siirtyy suoraan moduuleille yliarvostetuilla algebroilla . [3] Tämä koskee supergeometrian superliitäntöjä porrastetuissa jakoputkissa ja supervektorinipuissa . Superyhteydet ovat aina olemassa. $\mathbb Z_2$

Ei-kommutatiivinen geometria

If on eikommutatiivinen rengas, vasemman ja oikean -moduulin liitännät määritellään samalla tavalla kuin kommutatiivisen renkaan yli olevilla moduuleilla. [4] Tällaisia yhteyksiä ei kuitenkaan välttämättä ole olemassa. $A$ $A$

Toisin kuin vasemman ja oikean moduulin kytkennät, ongelma syntyy bimodulien kytkentöjen määrittelyssä ei- kommutatiivisten renkaiden ja . Tällaisille yhteyksille on olemassa erilaisia määritelmiä. [5] Tässä on yksi niistä. Yhteys -bimoduulilla määritellään bimoduulien morfismaksi $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

joka täyttää Leibnizin säännön

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Kirjallisuus

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , luentoja kuitukimppuista ja differentiaaligeometriasta (Tata University, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Yhteydet keskusbimoduleilla ei-kommutatiivisessa differentiaaligeometriassa, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Muistiinpanot Physics, Uusi sarja m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 sivua.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Connections in Classical and Quantum Field Theory ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , Nykyaikaiset kenttäteorian menetelmät. 4. Geometria ja kvanttikentät (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Linkit

Sardanashvily, G. , luentoja moduulien ja renkaiden differentiaaligeometriasta (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (linkki ei saatavilla)