Differentiaalilaskenta kommutatiivisten algebroiden yli

Differentiaalilaskenta kommutatiivisten algebroiden yli on kommutatiivisen algebran haara , joka syntyi viime vuosisadan 70-luvulla.

Skalaarioperaattorit

Olkoon kenttä, ole kentän yli oleva algebra , kommutiivinen ja ykseydellä, ja on -lineaarinen kuvaus, . Mikä tahansa algebran elementti voidaan ymmärtää kertooperaattoriksi: . Operaattorit ja yleisesti ottaen eivät työmatkaa, ja yhtäläisyys pätee jos ja vain jos on -homomorfismi. $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $a\in A$ $a(b)=ab,\ b\in A$ $a$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $A$

Määritelmä 1 . kutsutaan differentiaalioperaattoriksi (DO), jonka järjestys on välillä - jos jollekin $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $A$ $A$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

Kaikkien TO:iden joukko alkaen - on merkitty . Kahden järjestyksen DO:n summa on jälleen järjestyksen DO:t , ja joukko on vakaa sekä vasemman että oikean algebran elementeillä kertomisen suhteen , joten sille on annettu luonnollinen kaksimoduulirakenne yli . $\leq n$ $A$ $A$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $A$ $A$

Johdannaiset

Algebran pisteitä kutsutaan -homomorfismeiksi alkaen - . Merkitään Zariski-topologialla varustettujen algebran kaikkien pisteiden joukkoa . Algebran elementit voidaan ymmärtää avaruuden funktioina asettamalla . $A$ $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $A$ $\vert A\vert$ $A$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

Määritelmä 2 . Kuvausta kutsutaan avaruuden tangenttivektoriksi jossakin pisteessä, jos se täyttää Leibnizin säännön tässä pisteessä: $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

Kaikkien pisteen tangenttivektorien joukolla on vektoriavaruuden luonnollinen rakenne . Sitä kutsutaan pisteen avaruuden tangentiavaruudeksi . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

Määritelmä 3 . Kartoitusta kutsutaan algebran johtamiseksi, jonka arvot ovat in, jos se täyttää Leibnizin säännön: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Kaikkien algebran johdannaisten joukolla arvoilla on vasemman moduulin luonnollinen rakenne. (Oikea kertolasku ei säilytä tätä joukkoa.) Mikä tahansa differentiaatio määrittelee tangenttivektorien perheen kaikille pisteille : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ ${\displaystyle \Delta _{z))$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

Johdannat ovat tietysti ENNEN tilausta : $\leq 1$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

Vasemman -moduulin luonnollinen isomorfismi määritellään $A$

\mathrm {ero} _{1}A=D(A)+A.

Tasaiset toiminnot

Jos on jakosarjan tasaisten funktioiden algebra , niin se on luonnollisesti varustettu sileän moniston rakenteella ja niin käy . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$

Lause . Antaa ja olla paikallisten koordinaattien järjestelmä jossain naapurustossa . Sitten rajoitukset voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\pisteet,x_n$ $U\alajoukko M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |} }{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Toisin sanoen M:n tasaisten funktioiden algebralle DO:n "algebrallinen" määritelmä on sama kuin klassinen, ja algebran johdannaiset ovat vektorikenttiä . $C^{\infty }(M)$ $M$

Yleinen tapaus

Olkoon moduulit ohi . Määritelmät 1 ja 3 siirtyvät muuttumattomina tähän tapaukseen: $P,\Q$ $A$

Määritelmä 4 . -homomorfismia kutsutaan lineaariseksi differentiaalioperaattoriksi, jonka kertaluokka on välillä ~ ~ jos yhtään $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $K$ $P$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

Määritelmä 5 . Kartoitusta kutsutaan algebran johtamiseksi, jonka arvot ovat in, jos se täyttää Leibnizin säännön: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Kaikkien DO:iden joukko järjestyksessä alkaen - on bimoduli yli , ja kaikkien johdannaisten joukko to on vasen -moduuli. $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $K$ $P$ $A$ $\mathrm {D} (P)$ $A$ $P$ $A$

Jos on tasofunktioiden algebra monistossa , niin projektitiiviset äärellisesti generoidut -moduulit eivät ole muita kuin äärellisulotteisten vektorinippujen osien moduuleita . Tässä tapauksessa määritelmä 4 kuvaa vektoriarvoisten funktioiden DO:t, jotka muuttavat ne vektoriarvoisiksi funktioiksi, kun taas määritelmä 5 kuvaa vektoriarvoisia vektorikenttiä. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $A$ $M$

Esineiden esittäminen ja geometrisointi

Toimivat ja ovat edustavia: $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Lause . 1. On olemassa ainutlaatuisia -moduuleja ja johdannaisia niin, että mille tahansa -moduulille on luonnollinen isomorfismi $A$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $A$ $K$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Ainutlaatuiset -moduulit ja DO ovat järjestyksessä siten, että millä tahansa -moduulilla on luonnollinen isomorfismi $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $A$ $K$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

Johtamista ja DO :ta kutsutaan yleiseksi differentiaatioksi ja yleiseksi DO: ksi, ja moduuleita ja niitä kutsutaan ensimmäisen kertaluvun differentiaalimuotojen moduuliksi ja kertaluvun suihkujen moduuliksi . (Joskus termiä "jet" käytetään termin "jet" sijaan.) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

Moduulit ja kuvataan yksinkertaisesti "sormilla". Nimittäin -moduulin generoivat kaikki mahdolliset lomakkeen elementit, joille seuraavat suhteet ovat voimassa: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\ p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A

, missä ja niin edelleen.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

Samoin -moduulin generoivat kaikki mahdolliset lomakkeen elementit, joille seuraavat suhteet ovat voimassa: $A$ $\lambda$ $da,\ a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A

d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A

Tässäkin olisi luonnollista odottaa, että algebran differentiaalimuodot osoittautuvat "tavallisiksi" differentiaalimuodoiksi jakosarjassa ja suihkut - "tavallisiksi" suihkuiksi , mutta näin ei ole. Syynä tähän on näkymättömien elementtien olemassaolo algebrallisissa rakenteissa eli nollasta poikkeavien elementtien olemassaolo, jotka kuitenkin ovat nolla jokaisessa moniston pisteessä . Esimerkiksi anna , differentiaalimuoto ei ole nolla, mutta . Moduulit , jotka eivät sisällä näkymättömiä elementtejä, kutsutaan geometrisiksi. Jokaiselle moduulille kaikkien näkymättömien elementtien joukko muodostaa alimoduulin, jonka tekijä on geometrinen moduuli ja jota merkitään . Moduulit ja , jossa on geometrinen moduuli, edustavat funktioita ja geometristen moduulien luokassa yli . Ne osoittautuvat isomorfisiksi "tavallisten" differentiaalimuotojen moduulille ja vastaavasti "tavallisten" suihkujen moduulille. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ $M=\mathbb {R} ^{1}$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty }(M)$

Arvioitu algebra

Tämä teoria on helposti siirrettävissä asteittaisten algebrojen (vanhassa terminologiassa superalgebrat) tapaukseen, jossa se antaa uuden näkökulman erityisesti sellaisiin rakenteisiin kuin integraalimuodot ja Berezin-integraali.

Sovellukset

Se, että differentiaalilaskenta on kommutatiivisen algebran haara, on sinänsä mielenkiintoinen ja liittyy läheisesti yhteen tärkeimmistä fysikaalisista käsitteistä -- havaittavan käsitteeseen . Invariantit algebralliset rakenteet mahdollistavat työskentelyn siellä, missä klassinen koordinaattilähestymistapa on liian hankalaa tai jopa mahdotonta, esimerkiksi monistojen tapauksessa, joissa on singulaarisuus tai äärettömän ulottuvuus. Niitä käytetään Hamiltonin ja Lagrangin mekaniikassa , säilymislakien teoriassa, toissijaisessa laskennassa , algebrallisesta ja differentiaaligeometriasta puhumattakaan .

Historiallinen tausta

DO:n määritelmä kommutatiivisten algebroiden moduulien kategoriassa esiintyi toisistaan riippumatta P. Gabrielin [1] , S. Suzukin [2] ja A. M. Vinogradovin [3] teoksissa . Kuitenkin vain A. M. Vinogradov ymmärsi algebrallisen lähestymistavan täyden merkityksen DO:lle, ja hän ja hänen opiskelijansa antoivat suurimman panoksen tämän teorian kehittämiseen.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quuotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algebrique (d'après Grothendieck146), 2 Marie-146 Lect. Huomautuksia matematiikassa. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Kommutatiivisten renkaiden differentiaalit, Queenin yliopiston puhtaan ja sovelletun matematiikan paperit, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Lineaaristen differentiaalioperaattoreiden teorian logiikan algebra Arkistoitu 12. joulukuuta 2021, Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Kirjallisuus

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables, MCNMO, Moskova, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , Mikä on Hamiltonin formalismi? // Matemaattisten tieteiden edistysaskel. - 1975. - V. 30, numero 1 (181), - s. 173–198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Johdatus epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden geometriaan, luku 1. Lineaariset differentiaalioperaattorit kommutatiivisissa algebroissa M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Jotkut homologiset järjestelmät, jotka liittyvät differentiaalilaskemiseen kommutatiivisissa algebroissa // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, numero 6 (210), - s. 145–150.
IS Krasil'shchik , luentoja lineaarisista differentiaalioperaattoreista kommutatiivisten algebroiden yli. Eprint DIPS -01/98
Differentiaalilaskennan algebralliset näkökohdat, toimittaneet Joseph Krasil'shchik ja Alexandre Vinogradov , - Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, osa 49, numero 3, joulukuu 1997, 321 sivua, ISSN: 0167-8019. (Tämän numeron artikkelit ovat saatavilla yksittäin sähköisesti: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. and Sciences, Opava (Tšekin tasavalta), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Differentiaalilaskennan logiikka ja geometristen rakenteiden eläintarha, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, — AMS "Translation of Mathematical Monographs" -sarja, voi. 204, 247 sivua, 2001.