Erotettavissa oleva polynomi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Separoitavissa oleva polynomi on polynomi kentän yli , jonka kaikilla redusoitumattomilla tekijöillä ei ole useita juuria kentän algebrallisessa sulkeutumisessa . $K$ $K$

On olemassa myös vaihtoehtoinen määritelmä, joka on olemukseltaan läheinen, mutta ei yleisessä tapauksessa ekvivalentti: polynomi on erotettavissa, jos sillä ei ole yhteisiä juuria sen muodollisen derivaatan kanssa . Tämä jälkimmäinen tarkoittaa, että polynomilla itsellään (eikä vain sen tekijöiden redusoitumattomuudella) ei ole useita juuria algebrallisessa sulkeutumisessa. Erityisesti redusoitumattomille polynomeille molemmat määritelmät ovat ekvivalentteja. $P$ $P'$ $P$ $K$

Täydellisten kenttien pelkistymättömät polynomit ovat aina erotettavissa – mikä sisältää erityisesti kaikki ominaisnollan kentät sekä kaikki äärelliset kentät .

Koska redusoitumaton polynomi on ( Euklidesin algoritmin mukaan ) koprimi kaikkiin pienemmän asteen polynomeihin, se voi olla erottamaton vain, jos sen derivaatta on nolla. Siksi erottamattomuus on ilmiö, joka ilmenee vain positiivisena ominaisuutena: pelkistymättömälle erottamattomalle polynomille esitys on tapahduttava: $P$

P(X)=Q(X^{p})

jossa on myös redusoitumaton polynomi ja on kentän ominaisuus. Tämän perusteella on helppo rakentaa esimerkki ei-erottavasta polynomista, esimerkiksi tämä on polynomi: $K$ $s$

P(X)=X^{p}-T

yhden muuttujan rationaalisten funktioiden kentän yli elementtien kentän yli . Todellakin, kun siirrytään algebralliseen laajennukseen (tai yksinkertaisesti liitettäessä kenttään ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $s$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle T^{1/p))$ $K$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

toisin sanoen on moninaisuuden (ainutlaatuinen) juuri . ${\displaystyle T^{1/p))$ $s$