Pakkaava kartoitus

Supistumiskartoitus on metrisen avaruuden kartoitus itseensä, joka pienentää minkä tahansa pisteiden välistä etäisyyttä jossain vahvassa mielessä.

Määritelmä

Määritetään operaattori metriavaruuteen . Sitä kutsutaan supistumiseksi, jos on olemassa ei-negatiivinen luku siten, että minkä tahansa kahden pisteen epäyhtälö on $({\mathbb {M)],\rho )$ $V:{\mathbb {M}}\to {\mathbb {M}}$ ${\mathbb {M}}$ $\alpha<1$ $x,y\in {\mathbb {M}}$

{\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}

Ominaisuudet

(Jatkuvuus) Antaa olla metrinen avaruus ja olla supistumisoperaattori . Sitten jatkuva toiminto on päällä . $({\mathbb {M)],\rho )$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$

(Kiinteä piste) Banachin lauseen mukaan täydellisen metrisen avaruuden supistumiskartoituksella on ainutlaatuinen kiinteä piste :

{\mathbb {}}x^{{*}}:Ax^{{*}}=x^{{*}}

(Iteratiivinen sekvenssi) Jos otamme mielivaltaisen metriavaruuden elementin ja tarkastelemme elementtijonoa , tämä iteratiivinen sarja suppenee operaattorin kiinteään pisteeseen . $x$ $x,Ax,A^{2}x,....$ $A$

Sovellus

Yhtälöiden numeerinen ratkaisu
Differentiaali- ja integraaliyhtälöiden olemassaolon ja ainutlaatuisuuslauseiden todistaminen .

Linkit

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - 4. painos - M .: Nauka, 1976. - 544 s.
Zorich V.A. Matemaattinen analyysi , - Mikä tahansa painos.