Symmetrinen tensori

Matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa tensorin sanotaan olevan symmetrinen kahden indeksin i ja j suhteen, jos se ei muutu, kun nämä indeksit vaihdetaan:

T_{ij\pisteet} = T_{ji\pisteet}

Jos tensori ei muutu, kun mikä tahansa sen indeksipari permutoidaan, niin tällaista tensoria kutsutaan ehdottoman symmetriseksi .

Symmetrisaatio ja antisymmetrisaatio

Mille tahansa tensorille U , jossa on komponentteja , voidaan rakentaa symmetrinen ja antisymmetrinen tensori säännön mukaisesti: $U_{ij\dots}$

$U_{(ij)\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}+U_{ji\dots})$ (symmetrinen osa),

$U_{[ij]\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\dots}-U_{ji\dots})$ (antisymmetrinen osa).

Termi "osa" tarkoittaa sitä $U_{ij\dots}=U_{(ij)\pisteet}+U_{[ij]\pisteet}$

Suuremmalle indeksille voidaan määrittää myös symmetrisaatio:

T_{(i_1i_2\dots i_r)} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_ {\sigma r))\

merkitty myös (jos se suoritetaan kaikilla indekseillä) symbolilla : $\operaattorinimi{Sym}$

(\operaattorinnimi{Sym}\,T)_{i_1i_2\dots i_r} = T_{(i_1i_2\dots i_r)}\

Kuitenkin kahden suuremman ranktensorin laajentamiseen käy ilmi, että vain ehdottoman symmetriset ja täysin antisymmetriset termit eivät riitä.

Ominaisuudet

Esimerkkejä täysin symmetrisistä tensoreista

Sijoitus 0 - skalaari (mikä tahansa),
Sijoitus 1 — vektori/kovektori (mikä tahansa),
Sijoitus 2:
- symmetrinen matriisi ,
- (kovariantti) on neliöllinen muoto .
Mielivaltainen arvo n — minkä tahansa vektorin/ kovektorin tensoriteho n (vain yksi vaihtoehdoista).

Viimeinen esimerkki osoittaa, että toisin kuin antisymmetrisessä tapauksessa, symmetristen tensorien avaruudella on positiivinen ulottuvuus mielivaltaisen suurelle määrälle symmetrisiä indeksejä.

Sovellus

Symmetrinen kovarianttiensorit syntyvät lineaariavaruudessa annetun funktion laajennuksesta Taylor-sarjassa - n -asteinen termi on symmetrinen n -lineaarinen funktio , eli sen "kerroin" on absoluuttisen symmetrinen tensori, jonka arvo on n .

Kvanttimekaniikassa n : n indeksin tensorisymmetrisyys kuvaa bosonin n - hiukkasen tilaa . Kun tilaa kuvataan aaltofunktiolla , monien muuttujien aaltofunktioita voidaan pitää matemaattisesti äärettömän ulottuvuuden tensoreina (jokainen argumentti vastaa indeksiä). Symmetrinen funktio täyttää yhtälön ja vastaavasti useammille muuttujille. $\psi(x,y)=\psi(y,x)$