Symplektinen matriisi

Symplektinen matriisi on 2 n × 2 n matriisi M , jossa on todellisia elementtejä ja joka täyttää ehdon

M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,,

(yksi)

missä M T tarkoittaa transponoitua matriisia M :lle ja Ω on kiinteä 2 n × 2 n ei- singulaarinen vinosymmetrinen matriisi . Tämä määritelmä voidaan laajentaa 2n × 2n matriiseihin, joissa on syötteitä mistä tahansa kentästä , kuten kompleksilukukentästä .

Yleensä lohkomatriisiksi valitaan Ω

\Omega ={\begin{bmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\\\end{bmatrix}}

missä E n on n × n - identiteettimatriisi . Matriisilla Ω on determinantti +1 ja sen käänteisarvo on Ω −1 = Ω T = −Ω.

Jokaisella symplektisellä matriisilla on yksikködeterminantti. 2 n × 2 n — symplektiset matriisit, joissa on reaalielementtejä — muodostavat aliryhmän erityisestä lineaariryhmästä SL(2 n , R ) matriisin kertolaskuoperaatiolla , nimittäin liitetyn epäkompaktin reaalisen Lie-ryhmän , jonka ulottuvuus on n (2 n + 1) , symplektinen ryhmä Sp( 2n , R ). Symplektinen ryhmä voidaan määritellä joukoksi lineaarisia muunnoksia , jotka säilyttävät todellisen symplektisen vektoriavaruuden symplektisen muodon .

Esimerkki symplektisesta matriisiryhmästä on kolmen symplektisen 2x2-matriisin ryhmä , joka koostuu identiteettimatriisista, ylemmästä kolmiomatriisista ja alemmasta kolmiomatriisista, jotka koostuvat elementeistä 0 ja 1.

Ominaisuudet

Mikä tahansa symplektinen matriisi on ei- degeneroitunut ja käänteinen matriisi on annettu kaavalla

M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .

Myös kahden symplektisen matriisin kertolasku on jälleen symplektinen matriisi. Tämä antaa kaikkien symplektisten matriisien joukolle ryhmän rakenteen . Tässä ryhmässä on luonnollinen monimuotoinen rakenne , joka muuttaa sen (todelliseksi tai monimutkaiseksi) valheryhmäksi , jota kutsutaan symplektiseksi ryhmäksi .

Määritelmästä seuraa helposti, että minkä tahansa symplektisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin ±1. Itse asiassa käy ilmi, että determinantti on aina +1 mille tahansa kentälle. Yksi tapa nähdä tämä on käyttää pfaffiania ja tasa-arvoa

{\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).

Koska ja , meillä on det( M ) = 1. $M^{\text{T}}\Omega M=\Omega$ ${\mbox{Pf))(\Omega )\neq 0$

Jos kyseessä on reaali- tai kompleksilukujen kenttä, saadaan alkeistodistus laajentamalla epäyhtälöä . [yksi] $\det(M^{\text{T}}M+E)\geq 1$

Oletetaan, että Ω on annettu vakiomuodossa ja olkoon M 2 n × 2 n lohkomatriisi , joka annetaan

M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

missä A , B , C , D ovat n × n matriisia. M :n ehto voi olla symmetrisesti yhtä suuri kuin seuraavat kaksi ehtoa [2]

A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D

symmetrinen ja

A^{\text{T}}DC^{\text{T}}B=E

AB^{\teksti{T)),CD^{\teksti{T))

symmetrinen ja

AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=E

Kun n = 1, nämä ehdot pelkistyvät yhteen ehtoon det( M ) = 1. Silloin 2×2 matriisi on symplektinen silloin ja vain, jos sillä on yksikködeterminantti.

Jos Ω määritellään vakiomuodossa, yhtälö antaa M :n käänteisarvon

M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T))\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\teksti{T))&-B^{\ teksti{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.

Ryhmällä on mitta n (2 n + 1). Tämän huomaa, jos sen huomaa

\Omega M^{\text{T}}\Omega M=-E

Viimeinen yhtäläisyys voidaan esittää muodossa

-\delta _{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{k,i+n}m_{n+k,j}-m_{n+k,i+n} m_{n,j}-m_{k,i}m_{n+k,j}+m_{k,i}m_{k,j}

missä on matriisin alkio (i, j). Tämä summa on antisymmetrinen, ja koska vasen puoli on nolla i:lle, joka on eri kuin j, tästä jää n(2n-1) riippumatonta yhtälöä. $m_{{ij}}$

Symplektiset muunnokset

Lineaarisen algebran abstraktissa muotoilussa matriisit korvataan äärellisulotteisen vektoriavaruuden lineaarisilla kuvauksilla . Symplektisen matriisin abstrakti analogia on symplektisen vektoriavaruuden symplektinen muunnos . Lyhyesti sanottuna symplektinen vektoriavaruus on 2n - ulotteinen vektoriavaruus V , joka on varustettu ei- degeneroituneella vinosymmetrisellä bilineaarisella muodolla ω, jota kutsutaan symplektiseksi muodoksi .

Symplektinen muunnos on tällöin lineaarinen muunnos L : V → V , joka säilyttää ω:n, ts.

\omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).

Jos V : lle vahvistetaan kanta , ω voidaan kirjoittaa Ω:n matriisiksi ja L M :n matriisiksi . Ehto, että L on symplektinen muunnos, on täsmälleen se ehto, että M on symplektinen matriisi:

M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .

Perusmuutoksen alla (muutosmatriisilla A ) meillä on

\Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A

M\mapsto A^{-1}MA.

On aina mahdollista pienentää Ω joko johdannossa annettuun vakiomuotoon tai alla kuvattuun lohkodiagonaalimuotoon valitsemalla sopiva matriisi A .

Matriisi Ω

Symplektiset matriisit määritellään suhteessa kiinteään ei - degeneroituun vinosymmetriseen matriisiin Ω. Kuten edellisessä osassa selitettiin, Ω voidaan nähdä ei- degeneroituneen vinosymmetrisen bilineaarisen muodon koordinaattiesityksenä . Tämä on lineaarisen algebran perustulos , jonka mukaan kaksi tällaista matriisia eroavat toisistaan vain vaihtamalla kantaa .

Yleisin vaihtoehto yllä olevalle standardimatriisille Ω on lohkodiagonaalimatriisi

\Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0 \end{matrix}}\end{bmatrix}}.

Tämä matriisi eroaa edellisestä permutoimalla kantavektorit .

Joskus vinosymmetrisessä matriisissa käytetään merkintää J Ω:n sijaan. Tämä ei ole hyvä valinta, koska se sekoittaa monimutkaisen rakenteen merkinnän , jolla on usein sama koordinaattilauseke kuin Ω, mutta joka edustaa täysin erilaista rakennetta. Kompleksirakenne J on lineaarisen muunnoksen koordinaattiesitys, jonka neliö on -E , kun taas Ω on ei-degeneroituneen vinosymmetrisen bilineaarisen muodon koordinaattiesitys. On helppo valita kanta, jossa J ei ole vinosymmetrinen tai neliö Ω ei ole -E .

Kun on annettu hermiittinen rakenne vektoriavaruudessa, J ja Ω liittyvät toisiinsa

\Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}

missä on mittari . Se, että J :llä ja Ω:lla on sama koordinaattilauseke (merkkiin asti), on yksinkertaisesti seurausta siitä, että metriikka g on yleensä identiteettimatriisi. ${\displaystyle g_{ac))$

Diagonalisointi ja hajottaminen

Jokaiselle positiiviselle määrätylle reaalisymplektiselle matriisille S on olemassa U :ssa U(2 n , R ) niin, että

S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operaattorinimi {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n} ,\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),

jossa D:n diagonaaliset alkiot ovat S : n ominaisarvot [3] .

Jokaisella todellisella symplektisellä matriisilla S on polaarinen hajoaminen muodossa [3] :

S=UR\quad

varten ja .

U\in \operaattorinimi {U} (2n,\mathbb {R} )

R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operaattorinnimi {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} )

Mikä tahansa todellinen symplektinen matriisi voidaan hajottaa kolmen matriisin tuloksi:

S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',

siten, että O ja O' ovat symplektisiä ja ortogonaalisia ja D on positiivinen-tarkka diagonaalinen matriisi . Tämä hajottaminen liittyy läheisesti matriisin singulaariarvohajotukseen ja tunnetaan Euler- tai Bloch-Messiah-hajoteluna.

Monimutkaiset matriisit

Jos otamme M:n sijaan 2n × 2n matriisin , jossa on kompleksisia merkintöjä, määritelmää ei ole standardoitu kirjallisuudessa. Monet kirjoittajat [4] tarkentavat yllä olevaa määritelmää

M^{*}\Omega M=\Omega \,.

(2)

jossa M * tarkoittaa matriisin M hermiitistä konjugaatiota . Tässä tapauksessa determinantti ei välttämättä ole 1, vaan sen absoluuttinen arvo on 1. Jos 2×2 ( n =1), M on symplektisen matriisin ja kompleksiluvun tulo, jonka absoluuttinen arvo on 1.

Muut kirjoittajat [5] säilyttävät määritelmän ( 1 ) kompleksisille matriiseille, ja ehdon ( 2 ) täyttäviä matriiseja kutsutaan konjugaattisympektisiksi matriiseiksi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rim, D. (2015), Perustodiste siitä, että symplektisilla matriiseilla on yksi determinantti, arΧiv : 1505.04240 .
↑ de Gosson, Maurice Johdatus symplektiseen mekaniikkaan: luennot I-II-III . Haettu 12. toukokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ 12 de Gosson, 2011 .
↑ Xu, 2003 , s. 1–24.
↑ Mackey, Mackey, 2003 .

Kirjallisuus

Maurice A. de Gosson. Symplektiset menetelmät harmonisessa analyysissä ja matemaattisessa fysiikassa . - Birkhäuser, 2011. - V. 7. - (Pseudo-differentiaalioperaattorit, teoria ja sovellukset). — ISBN 9783034600163 . - doi : 10.1007/978-3-7643-9992-4 .
HG Xu. SVD:n kaltainen matriisihajotelma ja sen sovellukset // Lineaarinen algebra ja sen sovellukset. - 2003. - heinäkuu ( v. 368 ). - S. 1-24 . - doi : 10.1016/S0024-3795(03)00370-7 .
D.S. Mackey, N. Mackey. Symplektisten matriisien determinantista. - Manchester, Englanti: Manchester Center for Computational Mathematics, 2003. - T. 422. - (Numerical Analysis Report).