Trace (kenttäteoria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. heinäkuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Trace on kentän lopullisen laajennuksen elementtien kartoitus alkuperäiseen kenttään K , joka määritellään seuraavasti: $E\ järkyttynyt K$

Olkoon E asteen äärellinen laajennus K , kentän E alkio . Koska E on vektoriavaruus kentän K yläpuolella , tämä elementti määrittää lineaarisen muunnoksen . Tämä muunnos jollakin perusteella voidaan liittää matriisiin . Tämän matriisin jälkiä kutsutaan elementin α jäljeksi . Koska toisessa pohjassa tämä kartoitus vastaa samanlaista matriisia , jolla on sama jälki, jälki ei riipu perustan valinnasta, eli jokainen laajennuksen elementti liittyy yksilöllisesti sen jäljitykseen. Se on merkitty $n=[E:K]$ $\alpha \in E$ $x\mapsto \alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ tai jos on selvää, mistä laajennuksesta se puhuu, vain . ${\text{Tr}}(\alpha )$

Trace Properties

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\teksti{Tr))(c\alpha )=c{\teksti{Tr))(\alpha )$ klo $c\in K$
Jos E on erotettavissa oleva laajennus , niin se on nollasta poikkeava funktionaali; jos se ei ole erotettavissa, niin . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
Jälki on transitiivinen, eli meillä on laajennusketjulle $K\osajoukko E\osajoukko F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alpha )$
Jos on yksinkertainen algebrallinen laajennus ja on minimaalinen polynomi α, niin $E=K(\alpha )$ ${\displaystyle f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0))$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Jäljitä lauseke E :n ja K :n automorfismin suhteen

Olkoon σ 1 ,σ 2 …σ m kaikki E :n automorfismit, jotka jättävät K :n elementit kiinteiksi . Jos E on erotettavissa, niin m on yhtä suuri kuin aste [E:K]=n . Sitten jäljelle on seuraava lauseke:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Jos E ei ole erotettavissa, niin m≠n , mutta n on m :n kerrannainen , ja osamäärä on jonkinasteinen ominaispiirre p: n=p i m .

Sitten ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Esimerkki

Olkoon K reaalilukujen kenttä ja E kompleksilukujen kenttä . Sitten numeron jälki on . Kompleksiluvun jälki voidaan laskea kaavalla , ja tämä sopii hyvin yhteen sen tosiasian kanssa, että kompleksikonjugaatio on kompleksilukukentän ainoa automorfismi. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Katso myös

Normi (kenttäteoria)

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatiivinen algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967