Vapausasteet (mekaniikka)

Vapausasteet mekaniikassa ovat joukko riippumattomia siirtymän ja/tai pyörimiskoordinaatteja, jotka määräävät täysin järjestelmän tai kappaleen sijainnin (ja yhdessä niiden aikaderivaatat - vastaavat nopeudet - määräävät täysin mekaanisen järjestelmän tai kappaleen tilan , eli niiden sijainti ja liike).

Tätä peruskäsitettä käytetään teoreettisessa mekaniikassa , mekanismien ja koneiden teoriassa , koneenrakennuksessa , ilmailussa ja lentokoneteoriassa, robotiikassa .

Toisin kuin tavalliset karteesiset tai muun tyyppiset koordinaatit, tällaisia koordinaatteja kutsutaan yleisesti yleistetyiksi koordinaatteiksi ( Carteesiset , polaariset tai jotkut muut erityiset koordinaatit ovat siis yleistettyjen erityistapaus). Itse asiassa puhumme numeroiden vähimmäisjoukosta, joka määrittää täysin tämän järjestelmän nykyisen sijainnin (kokoonpanon).

Vaatimus, jonka mukaan tämä joukko on minimaalinen tai riippumaton koordinaateista, tarkoittaa, että tarkoitetaan koordinaattijoukkoa, joka on välttämätön kuvaamaan järjestelmän sijaintia vain mahdollisilla liikkeillä (esim. jos tarkastellaan matemaattista heiluria , ymmärretään, että sen pituus ei voi muuttua, ja näin ollen koordinaatti, joka kuvaa etäisyyttä kuormasta ripustuspisteeseen, ei ole sen vapausaste, koska se ei voi muuttua - eli matemaattisen heilurin vapausasteiden lukumäärä avaruudessa on 2, ja sama heiluri, joka voi liikkua vain yhdessä tasossa, on 1. Ne vastaavat heilurin poikkeamakulmia pystysuorasta) .

Siinä tapauksessa, kun tarkastellaan järjestelmää, jossa on rajoituksia (tarkemmin sanottuna rajoituksilla ), mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä on pienempi kuin järjestelmän kaikkien aineellisten pisteiden karteesisten koordinaattien lukumäärä, nimittäin:

n=3N-n_{{link}},

missä on vapausasteiden lukumäärä,

n

N

on järjestelmän aineellisten pisteiden lukumäärä,

n_{\text{link}}

- hallussa olevien joukkovelkakirjojen lukumäärä, lukuun ottamatta tarpeettomia [Comm. 1] .

Vapausasteiden lukumäärä ei riipu vain todellisen järjestelmän luonteesta, vaan myös mallista (approksimaatiosta), jossa järjestelmää tutkitaan. Jopa klassisen mekaniikan (jossa tämä artikkeli on yleensä kirjoitettu) approksimaatiossa, jos kieltäydymme käyttämästä muita ongelmaa yksinkertaistavia approksimaatioita, minkä tahansa makroskooppisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä osoittautuu valtavaksi. Koska sidokset eivät ole ehdottoman jäykkiä (eli niitä voidaan itse asiassa pitää sidoksina vain tietyn likiarvon puitteissa), mekaanisen järjestelmän todellinen vapausasteiden lukumäärä voidaan arvioida ainakin kolminkertaiseksi luvuksi. atomien (ja jatkumon approksimaatiossa äärettömänä). Käytännössä käytetään kuitenkin approksimaatioita, jotka mahdollistavat ongelman radikaalin yksinkertaistamisen ja vapausasteiden määrän vähentämisen järjestelmää tarkasteltaessa, joten käytännön laskelmissa vapausasteiden lukumäärä on äärellinen, yleensä melko pieni, määrä.

Siten ehdottoman jäykkä kappaleen approksimaatio , joka on esimerkki kappaleen jokaiselle materiaalipisteparille määrätystä jäykästä liitoksesta, vähentää jäykän kappaleen vapausasteiden lukumäärän kuuteen. Tarkastellaan järjestelmiä, jotka koostuvat pienestä määrästä jäykkiä Tässä approksimaatiossa huomioitujen kappaleiden vapausasteiden määrä on siis pieni, ja sitä lisäksi luultavasti pienennetään lisärajoitusten (vastaavien saranoiden jne.) avulla [Comm. 2] .

Mekanismien vapausasteiden lukumäärä voi olla sekä vakio että muuttuva [1] .

Esimerkkejä

Kolmiulotteisessa avaruudessa liikkuvalla jäykällä kappaleella voi olla enintään kuusi vapausastetta: kolme translaatiota ja kolme rotaatiota.
Auto, jos sitä pidetään jäykkänä korina, liikkuu tasoa pitkin tai pikemminkin tiettyä kaksiulotteista pintaa pitkin (kaksiulotteisessa tilassa). Sillä on kaksi vapausastetta (yksi pyörivä ja yksi translaatio).
Juna on pakotettu liikkumaan radalla, ja siksi sillä on vain yksi vapausaste.

Vapausasteet korkeamman ulottuvuuden avaruudessa

Yleisessä tapauksessa jäykällä kappaleella mittaavaruudessa on vapausasteita ( translaatio- ja rotaatio). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2))$ $d$ ${\frac {d(d-1)}{2))$

Kiinteät aineet. Muotoilevat kappaleet

Elastisia tai muotoaan muuttavia kappaleita voidaan pitää monien pienimpien hiukkasten järjestelmänä (ääretön määrä vapausasteita), jolloin järjestelmän katsotaan usein olevan likimäärin rajoitettu määrä vapausasteita.

Jos analyysin pääkohde on liike, joka aiheuttaa suuria siirtymiä, niin laskelmien yksinkertaistamiseksi muotoaan muuttavaa kappaletta pidetään suunnilleen ehdottoman jäykänä kappaleena ja joskus materiaalina. Jos esimerkiksi tutkitaan mekanismin osan liikettä, joka suorittaa merkittäviä siirtymiä, on mahdollista päälikimäärin (ja hyvällä tarkkuudella) pitää osaa ehdottoman jäykänä kappaleena (tarvittaessa, kun liike on jo laskettu, sen pieniin muodonmuutoksiin liittyvät korjaukset), varsinkin jos tutkitaan esimerkiksi satelliittien liikettä radalla ja jos satelliitin suuntaa ei huomioida, niin se riittää. pitää sitä aineellisena asiana - eli rajoittaa satelliitin kuvaus kolmeen vapausasteeseen.

Kehojärjestelmät

Usean kappaleen järjestelmällä voi yleensä olla sellainen määrä vapausasteita, joka on järjestelmän muodostavien kappaleiden vapausasteiden summa, josta on vähennetty ne vapausasteet, joita sisäiset rajoitukset rajoittavat. Useita toisiinsa yhdistettyjä kappaleita sisältävällä mekanismilla voi olla enemmän vapausasteita kuin yhdellä vapaalla jäykällä kappaleella. Tässä tapauksessa termiä "vapausasteet" käytetään viittaamaan parametrien määrään, joka tarvitaan määrittämään tarkasti mekanismin sijainti avaruudessa.

Useimmissa mekanismeissa on kiinteä määrä vapausasteita, mutta muuttuvan määrän tapaukset ovat mahdollisia. Ensimmäisen mekanismin, jossa on vaihteleva määrä vapausasteita, keksi saksalainen mekaanikko W. Wunderlich vuonna 1954 (katso Wunderlich, 1954 ) - litteän mekanismin, jossa on 12 lenkkiä ja 2 kiinteää saranaa. Venäläinen matemaatikko Mihail Kovalev [1] keksi ja kuvasi (ks. Kovalev, 1994 ) yksinkertaisemman mekanismin, jossa on 9 lenkkiä .

Erityinen mekanismityyppi on avoin kinemaattinen ketju , jossa jäykissä lenkeissä on liikkuvat liitokset, jotka pystyvät tarjoamaan yhden vapausasteen (jos se on sarananivel tai liukunivel) tai kaksi vapausastetta (jos se on sylinterimäinen nivel ). Tällaisia ketjuja käytetään laajalti nykyaikaisissa teollisissa mekanismeissa ja tuotannossa.

Ihmisen kädellä on 7 vapausastetta.

Mekaanista järjestelmää, jolla on 6 fyysistä vapausastetta, kutsutaan holonomiseksi . Jos järjestelmällä on vähemmän vapausasteita, sitä kutsutaan ei -holonomiseksi . Mekaanista järjestelmää, jolla on enemmän hallittuja vapausasteita kuin fyysisten vapausasteiden lukumäärä, kutsutaan redundantiksi .

Mekanismien vapausasteiden määrittäminen

Useimmilla tavanomaisilla mekanismeilla on yksi vapausaste, eli on yksi tuloliike, joka määrittää yhden lähtöliikkeen. Lisäksi useimmat mekanismit ovat litteitä. Spatiaalisia mekanismeja on vaikeampi laskea.

Tšebyshev-Grabler-Kutzbach-kaavaa vapausasteiden laskemiseen

Yksinkertaisimmassa muodossaan litteille mekanismeille tämä kaava on muotoa:

m=3(n-1)-2f,

missä on vapausasteiden lukumäärä;

m

n

- mekanismin lenkkien lukumäärä (mukaan lukien yksi kiinteä lenkki - alusta);

f

- kinemaattisten parien lukumäärä yhdellä vapausasteella ( silmukka tai liukuva yhteys).

Yleisemmässä muodossa Chebyshev - Grabler - Kutzbach -kaava litteille mekanismeille, jotka sisältävät monimutkaisempia linkkiyhteyksiä:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

Tai tilamekanismille (mekanismi, jolla on kolmiulotteinen liike):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

missä on vapausasteiden lukumäärä;

m

n

- mekanismin lenkkien lukumäärä (mukaan lukien yksi kiinteä lenkki - alusta);

j

- linkkien mobiiliyhteyksien kokonaismäärä ottamatta huomioon näiden yhteyksien vapausasteiden määrää;

{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\ f_{i))

- kaikkien liikkuvien liitosten (saranoiden) kaikkien vapausasteiden summa.

Hydraulinen käyttö

Hydraulijärjestelmän vapausasteiden lukumäärä voidaan määrittää yksinkertaisesti laskemalla itsenäisesti ohjattujen hydraulimoottorien lukumäärä .

Sähkötekniikka

Sähkötekniikassa "vapausasteiden" käsitettä käytetään usein kuvaamaan suuntien määrää, joihin vaiheistettu ryhmäantenni voi heijastaa sädensä. Se on yksi vähemmän kuin hilan sisältämien elementtien lukumäärä.

Mahdollisten siirtymien periaate

Teoreettisessa mekaniikassa tunnetaan mahdollisten siirtymien periaate , jonka avulla, kuten staattisen tasapainon yhtälöt, voidaan löytää mekaaniseen järjestelmään vaikuttavia ulkoisia voimavaikutuksia. Mahdollisten siirtymien periaatteen perusteella laadittujen yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tietyn mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä .

Molekyylin vapausasteet

Pääartikkeli: Vapausasteet (fysiikka): Molekyylin vapausasteet

Kaasun sisäisen energian kaava :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, missä on kaasumolekyylin vapausasteiden lukumäärä ;

i

m

on kaasun massa;

\mu

on kaasun moolimassa ;

R

on yleinen kaasuvakio ;

T

on kaasun absoluuttinen lämpötila , mukaan lukien molekyylin vapausasteiden lukumäärä.

Tämä kaava on tärkeä laskelmissa, esimerkiksi polttomoottoreille .

Kommentit

↑ . Jos esimerkiksi etäisyydet tietystä pisteestä absoluuttisen jäykän kappaleen kolmeen pisteeseen ovat kiinteitä, etäisyyksien kiinnittäminen tästä pisteestä saman jäykän kappaleen muihin pisteisiin on tarpeetonta, koska ne tallentuvat automaattisesti.
↑ . On kuitenkin pidettävä mielessä, että kuten mikä tahansa malli, tällainen malli asettaa tietyn todellisen hinnan sitä käytettäessä: ehdottoman jäykkä runkomalli jättää täysin huomioimatta värähtelyt ja aallon etenemisen jäykässä kappaleessa, johon sitä sovelletaan. Kuitenkin, kuten tavallista, sitä voidaan käyttää nolla-approksimaationa ja tarvittavat jalostuskorjaukset voidaan sitten laskea erikseen, ja ehkä tämä voidaan tehdä pienemmällä tarkkuudella, jos ne ovat pieniä.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Matemaattiset opinnot .

Kirjallisuus

Targ S. M. Lyhyt kurssi teoreettisesta mekaniikasta. Proc. teknisille korkeakouluille - 10. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M .: Korkeampi. shk., 1986.- 416 s., ill.
Buchholz N. N. Teoreettisen mekaniikan pääkurssi (osa ensimmäinen). Kustantaja "Nauka", Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpaino, M.: 1972, 468 sivua.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe : [ saksa. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. Saranoitujen laitteiden geometrinen teoria : [ arch. 5. toukokuuta 2017 ] // Izvestiya RAN. Matemaattinen sarja. - 1994. - V. 58, nro 1. - S. 45-70. - UDC 514 + 531,8 .

Linkit

Vapauden asteet . Matemaattiset opinnot . Haettu: 26.7.2019. (Venäjän kieli)