Sublineaarinen funktio

Sublineaarinen funktio matematiikassa on funktio todellisen vektoriavaruuden yli (yleisemmin reaalilukukentän sijaan voidaan harkita mielivaltaista järjestettyä kenttää ), jolle seuraavat ehdot täyttyvät: $f: V \nuoli oikealle \R$ $V$

f(\gamma x ) = \gamma f\vasen( x\oikea)

kaikille ja kaikille x ∈ V ( positiivinen homogeenisuus ),

\gamma\in \mathbb{R}_+

f(x + y) \leqslant f(x) + f(y)

kaikille x , y ∈ V (subadditiivisuus).

Vastaavat määritelmät

Vastaavasti määritelmässä subadititiivisuusehto voidaan korvata konveksiteettiehdolla , jonka mukaan epäyhtälön tulee päteä funktiolle:

f(\gamma x + (1 - \gamma) y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)

kaikille x , y ∈ V ja .

0 \leqslant \gamma \leqslant 1

Itse asiassa, jos funktio on positiivisesti homogeeninen ja kupera, niin:

f(x+y)=2f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leqslant 2\left({\frac {1}{2}}f(x)+ {\frac {1}{2}}f(y)\right)=f(x)+f(y).

Myös kupera seuraa ilmeisesti sublineaarisuudesta ja positiivisesta homogeenisuudesta. Tämän vaihtoehtoisen määritelmän perusteella tämän tyyppistä funktiota kutsutaan joskus tasaisesti kuperaksi . Toinen yleinen nimi on Banach-funktionaali , vaikka tämäntyyppinen funktionaali esiintyy Hahn-Banachin lauseessa .

Toinen vaihtoehtoinen määritelmä: Funktio on alilineaarinen silloin ja vain, jos ehto on tosi: $f: V \nuoli oikealle \R$

f(\gamma x + \delta y) \leqslant \gamma f(x) + (1 - \gamma) f(y)

kaikille x , y ∈ V ja kaikille .

0 < \gamma, \delta

Esimerkkejä

Jokainen lineaarinen funktio on selvästi alilineaarinen. Funktio on myös alilineaarinen , jos se on lineaarinen. $p(x) = |f(x)|$ $f(x)$
Vektorin pituus -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa on alilineaarinen funktio. Tässä subdititiivisuusehto tarkoittaa, että kahden vektorin summan pituus ei ylitä niiden pituuksien summaa ( kolmio-epäyhtälö ), ja positiivinen homogeenisuus seuraa suoraan vektorin pituuden määritelmästä. $n$ $\R^n.$
Olkoon M rajoitettujen sekvenssien avaruus $x = (x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots).$

Toiminnallinen:

f(x) = \sup_i |x_i|

on sublineaarinen.

Ominaisuudet

$f(0) = 0.$ Tämä väite saadaan korvaamalla x = 0 positiivisen homogeenisuuden yhtälöön.
Nollasta poikkeava alilineaarinen funktio voi olla ei-negatiivinen, mutta jos , niin annettu funktio on nolla kaikkialla. Tämä seuraa epätasa-arvosta: $f(x) \leqslant 0, \, \forall x \in V$

0 = f(x + (-x)) \leqslant f(x) + f(-x), \, \forall x \in V

jonka mukaan jos f(x) on negatiivinen luku, niin f(-x) :n on oltava positiivinen.

Mikä tahansa , seuraava epäyhtälö pätee: $\gamma$

f(\gamma x ) \geqslant \gamma f\left( x\right)

Sillä , tämä seuraa positiivisen homogeenisuuden määritelmästä, sillä , ensimmäisestä ominaisuudesta, ja jos , niin edellisen ominaisuuden epäyhtälöstä saamme: $\gamma > 0$ $\gamma = 0$ $\gamma < 0$

0 \leqslant f(\gamma x) + f(|\gamma| x) = f(\gamma x) + |\gamma| f(x)

tai:

f(\gamma x) \geqslant - |\gamma| f(x) = \gamma f(x).

Katso myös

Hahn-Banachin lause