Hahn-Banachin lause

Hahn - Banachin lause viittaa useisiin toisiinsa liittyviin klassisiin funktionaalisen analyysin tuloksiin , erityisesti

Lause lineaarisen funktionaalin jatkamisesta majorantin säilyttämisellä ;
Erotuslause kuperalle joukolle ;
Lause lineaarisen funktion jatkuvasta tai positiivisesta jatkumisesta.

Lause lineaarifunktion jatkamisesta majorantin säilyttämisellä

Olkoon lineaarinen tai vektoriavaruus reaalilukukentän päällä ja positiivisesti homogeeninen subditiivifunktio . Lineaarisen avaruuden minkä tahansa lineaarisen aliavaruuden osalta jokainen lineaarinen funktio täyttää ehdon $X$ $\mathbb {R}$ $p:X\to \mathbb R$ $Y$ $X$ $f:Y\to \mathbb R$

f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y

voidaan laajentaa koko tilaan samalla kun tämä epätasa-arvo säilyy. $X$

On helppo osoittaa, että vain funktionaalin positiivinen homogeenisuus (sellainen virheellinen formulaatio on annettu Mathematical Encyclopediassa ) tai superadditiivisuus ei riitä tämän lauseen pätevyyteen. $s$

Vastaesimerkki positiivisesti homogeeniselle funktiolle: , , . $X=\mathbb R$ $Y=\{0\}$ $p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0$

Laajalti tunnettuja on useita versioita lauseesta lineaarifunktion jatkamisesta lineaaristen avaruuksien majorantin säilyttämisellä kompleksilukujen kentän yläpuolella, kun se on seminormi . $s$

Lause lineaarifunktion jatkuvasta laajentamisesta

Mikä tahansa normoidun lineaarisen avaruuden lineaariselle monistolle määritelty lineaarirajallinen funktio voidaan laajentaa koko avaruuteen siten, että normi säilyy. $f$ $Y$ $X$

Näistä teoreemoista seuraa monia tärkeitä seurauksia. Yksi heistä:

Lineaarisen normiavaruuden tai lokaalikonveksin mille tahansa kahdelle eri pisteelle on olemassa koko avaruuteen määritelty lineaarinen jatkuva funktio , jonka arvot näissä pisteissä ovat erilaisia.

Todiste

Ensin todistetaan, että yhteen suuntaan on laajennus. Anna . Harkitse muodon lineaarista avaruutta: $z\in X\setminus Y$

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Jatkamme kirjoittamista : $f$ $Y_z$

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

missä on määritettävä todellinen luku . Satunnaiselle ja suoritetaan: $\tilde f(z)$ $y_1, y_2\in Y$ $a,b>0$

f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant

{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =

{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant

\leqslant ap(y_1-bz) + bp(y_2+az).

Täältä

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

Näin ollen

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2) \right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Määritellään se näin $c\in \R$

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \ leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Tasa-arvo

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

Määritellään

\tilde f(z)=c.

Kaikille ja mielivaltaisille pätee seuraava eriarvoisuus: $y\in Y$ $a\in \R$

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

siksi

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Todistuksen täydentämiseksi käytämme Zornin lemmaa . Antaa olla joukko kaikkia mahdollisia laajennuksia, jotka täyttävät lauseen ehdot. Tämä joukko on osittain järjestetty verkkotunnusten sisällyttämisen vuoksi, ja jokaisella lineaarisesti järjestetyllä osajoukolla on supremum ( verkkotunnusten liitto ). Siksi Zorn-lemman mukaan tällä joukolla on maksimielementti. Tämä elementti on yhtä suuri kuin koko tila, muuten jatkaminen voidaan suorittaa vain tietyllä rakenteella. $E$

Katso myös

Kirjallisuus