Jakajafunktion lisääminen

Summausjakajafunktio lukuteoriassa on funktio, joka on jakajafunktion summa . Funktiota käytetään usein tutkimaan Riemannin zeta - funktion asymptoottista käyttäytymistä . Erilaisia tutkimuksia jakajafunktion asymptoottisesta käyttäytymisestä kutsutaan joskus jakajaongelmiksi .

Määritelmä

Summausjakajafunktio määritellään seuraavasti:

D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1

missä

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

on jakajafunktio . Jakajafunktio laskee kuinka monta tapaa kokonaisluku n voidaan kirjoittaa kahden kokonaisluvun tulona.

Yleisemmin se voidaan määritellä seuraavasti

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

missä d k ( n ) määrittää kuinka monta tapaa esittää luku n k luvun tulona . Tämä luku voidaan esittää visuaalisesti hyperbolisen pinnan rajoittamien hilapisteiden lukumääränä k dimensiossa. Tällöin k =2: lle D ( x )= D 2 ( x ) edustaa koordinaattiakselien ja hyperbolin jk = x rajoittamien neliöhilan pisteiden määrää . Tämä luku voidaan karkeasti esittää hyperbolisena simpleksinä , jonka avulla voimme saada vaihtoehtoisen tavan ilmaista D ( x ) ja yksinkertaisemman tavan laskea aika : $O({\sqrt {x)))$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\lfloor {\frac {x}{k))\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\lfloor {\frac {x}{k}}\rfloor -u^{2}

, missä

u=\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor

Jos tässä yhteydessä hyperboli korvataan ympyrällä, saadaan samanlaisen funktion laskemisen ongelma, joka tunnetaan Gaussin ympyräongelmana .

Dirichlet-jakajan ongelma

Täydellisen lausekkeen löytäminen tälle summalle näyttää mahdottomalta, mutta voidaan antaa likiarvo, joka on helppo löytää. Dirichlet osoitti sen

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

jossa on Euler-Mascheronin vakio , ja ei-asymptoottinen komponentti on yhtä suuri $\gamma$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

Dirichlet-jakajan ongelman tarkka muotoilu on löytää kaikkien arvojen infimumi, jolle $\theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

pätee mihin tahansa . Vuoteen 2006 mennessä ongelma jäi ratkaisematta. $\epsilon >0$

Lukuteorian ratkaisemattomien ongelmien jakso F1 [1] antaa yleiskatsauksen Dirichlet-jakajan ongelman ja Gaussin ympyrän ongelman tiedossa olevasta ja tuntemattomasta.

Vuonna 1904 Voronoi osoitti, että poikkeamaarvio voidaan parantaa arvoon [2] . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
Vuonna 1916 Hardy osoitti sen . Erityisesti hän osoitti, että jollekin vakiolle on x sellainen, että ja x sellainen, että [3] . $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4))$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4))$
Vuonna 1922 Johannes van der Corput paransi Dirichlet'n arviota $\inf \theta \leq 33/100.$
Vuonna 1928 Johannes van der Corput todisti sen $\inf \theta \leq 27/82.$
Vuonna 1950 Chih Tsung-tao ja itsenäisesti vuonna 1953 HE Richert osoittivat, että $\inf \theta \leq 15/46.$
Vuonna 1969 Grigory Kolesnik osoitti sen $\inf \theta \leq 12/37$
Vuonna 1973 Grigory Kolesnik osoitti sen . $\inf \theta \leq 346/1067$
Vuonna 1982 Grigory Kolesnik osoitti sen . $\inf \theta \leq 35/108$
Vuonna 1988 G. Ivanets ja CJ Mozzochi osoittivat, että [4] . $\inf \theta \leq 7/22$
Vuonna 2003 Martin Huxley paransi arviota osoittamalla, että [5] . $\inf \theta \leq 131/416$

Siten todellinen arvo on jossain välillä 1/4 ja 131/416 (noin 0,3149). Yleisesti hyväksytty hypoteesi on, että arvo on täsmälleen 1/4. Suorat laskelmat johtavat tähän olettamukseen, koska se osoittautuu lähes normaaliksi jakaumaksi varianssilla 1 x:lle aina 10 16 asti . $\inf \theta$ $\Delta (x)$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4))$

Yleistetty jakajaongelma

Yleistetyssä tapauksessa

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

missä on astepolynomi . $P_{k}$ $k-1$

Yksinkertaisten arvioiden avulla tämä voidaan osoittaa

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\oikea)

kokonaisluvuille . Kuten tapauksessa , alaraja on tuntematon. Jos merkitsemme minimiarvolla, jolle $k\geq 2$ $k = 2$ $\theta_k$

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)

mille tahansa , seuraavat tulokset tunnetaan: $\varepsilon >0$

Voronoi ja Landau: puolesta $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1))$ $k=2,3,\ldots$
Hardy ja Littlewood: puolesta $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2))$ $k=4,5,\ldots$
Hardy osoitti sen $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k))$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh ehdotti sitä . $\theta _{k}={\frac {k-1}{2k))$

Mellinin transformaatio

Molemmat termit voidaan ilmaista Mellin-muunnoksena :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

varten . Tässä ovat Riemannin zeta-funktiot . $c>1$ $\zeta (s)$

Samalla tavalla

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

kanssa . Asymptoottinen termi saadaan siirtämällä ääriviivaa kaksoissingulaarisen pisteen yli : asymptoottinen termi on yksinkertaisesti jäännös ( Cauchyn integraalikaavan mukaan ). $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

Yleisesti

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){ \frac {x^{w}}{w}}\,dw

ja sama kohteelle , . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Muistiinpanot

↑ Richard K. Guy. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. – 3. - Berliini: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. Riemannin Zeta-toiminto. - New York: Dover Publications, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Kerrannaislukuteoria I: Klassinen teoria. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . Jakaja- ja ympyrätehtävistä // Journal of Number Theory. - 1988. - Numero. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martin Huxley. Eksponentiaaliset summat ja hilapisteet III // Proc. Lontoon matematiikka. Soc .. - 2003. - T. 87 , nro 3 . - S. 591-609 . - doi : 10.1112/S0024611503014485 .

Kirjallisuus

Harold Edwards . Riemmannin Zeta-funktio". - Dover Publications, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
EC Titchmarsh. luku 12 yleisen jakaja-ongelman käsittelyyn // Riemannin Zeta-funktion teoria. - Oxford: Oxford Clarendon Pressissä, 1951.
Apostol, Tom M. Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan, matematiikan perustutkintotekstit. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Antaa johdannon Dirichlet'n jakajaongelmaan.
Hän nousi. Lukuteorian kurssi . – Oxford, 1988.
Martin Huxley . Eksponentiaaliset summat ja hilapisteet III // Proc. Lontoon matematiikka. soc. - 2003. - T. 87 , nro 3 . - S. 591-609 .