Nuori kaavio

Nuoret diagrammit ovat visuaalinen tapa kuvata symmetristen ja täydellisten lineaaristen ryhmien esityksiä ja tutkia niiden ominaisuuksia.

Historia

Cambridgen yliopiston matemaatikko Alfred Jung ehdotti nuoria kaavioita vuonna 1900 [1] [2] . Myöhemmin vuonna 1903 Georg Frobenius käytti niitä tutkiakseen symmetrisiä ryhmiä.

Youngin kaavioiden jatkokehitys voidaan jäljittää useiden matemaatikoiden, kuten Percy McMahonin , William Hodgen , Gilbert Robinsonin Jean - Carlo Rotan , Alain Lascoun Marcel Paul Schutzenbergerin .

Määritelmät

Huomautus: Tässä artikkelissa käytetään kaavioiden ja taulukoiden englanninkielistä merkintää .

Kaaviot

Young-diagrammi (kutsutaan myös Ferret-diagrammiksi , kun solujen sijasta käytetään pisteitä [3] ) on äärellinen joukko vasemmalle tasattuja soluja tai soluja, joissa rivien pituudet muodostavat ei- kasvavan sekvenssin (jokainen rivi on yhtä pitkä kuin edellinen tai lyhyempi ). Viivojen pituuksista koostuva lukujoukko määrittää ei-negatiivisen kokonaisluvun n osion λ , joka on yhtä suuri kuin kaavion solujen kokonaismäärä. Vastaavasti tietyn osion λ sanotaan antavan vastaavan Young-kaavion muodon.

Yhden Youngin kaavion sisällyttäminen toiseen määrittelee osittaisen järjestyksen kaikkien osioiden joukolle, mikä puolestaan määrittää rakenteen, jota kutsutaan Youngin hilaksi .

Transponoidun Young-kaavion antamaa osiota kutsutaan osiokonjugaatiksi tai transponoituna λ :ksi .

Tietoja Youngin kaavioiden ranskalaisesta merkinnästä

On yleistä, että solut merkitään käyttämällä kokonaislukuparia, joista ensimmäinen vastaa kaavion rivinumeroa ja toinen kyseisen rivin sarakkeen numeroa. Kaavioiden piirtämisessä on kuitenkin kaksi erilaista käytäntöä: joko edellisen alapuolella olevat rivit tai päinvastoin. Ensin mainittua käytetään yleisesti englanninkielisten keskuudessa , kun taas jälkimmäistä ranskankielisten keskuudessa , joten leikin terminologiassa näitä käytäntöjä kutsutaan englanninkielisiksi ja ranskankielisiksi merkintöiksi . Esimerkiksi kirjassaan symmetrisistä funktioista Macdonald suosittelee lukijoille, jotka pitävät parempana ranskankielistä merkintää, "lukemaan kirjan ylösalaisin peilistä" [4] .

Englanninkielinen merkintätapa vastaa yleisesti hyväksyttyä matriisielementtien numerointia, ja ranskalainen on lähempänä karteesisten koordinaattien merkintää (vaikka Young-kaavioissa pystykoordinaatti on edelleen ensimmäinen). Oikeanpuoleinen kuva englanninkielisellä merkinnällä esittää Youngin kaavion osiosta (5, 4, 1). Konjugaattiosio, joka mittaa sarakkeiden korkeuksia, on (3, 2, 2, 2, 1).

Taulukot

Youngin taulu on Youngin kaavio, jonka solut on täytetty jonkin aakkoston symboleilla , joiden oletetaan yleensä olevan hyvin järjestetty joukko . Aluksi aakkosten piti olla joukko numeroituja muuttujia x 1 , x 2 , x 3 ..., mutta nyt lyhyyden vuoksi luonnollisia lukuja käytetään useammin. Klassisessa sovelluksessaan symmetristen ryhmien esitysteoriassa Youngin taulukot on täytetty n :llä eri numerolla, jotka on merkitty mielivaltaisesti kaavion soluihin. Taulukkoa kutsutaan standardiksi , jos luvut kasvavat jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Erilaisten standardien Young-taulukoiden, joissa on n elementtiä, lukumäärää kuvaa involuutioiden lukumäärä kertaluvun n symmetrisessä ryhmässä :

1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, ... (sekvenssi A000085 OEIS : ssä ).

Muissa sovelluksissa voi olla luonnollista sallia joidenkin numeroiden toistuminen (ja olla käyttämättä joitain ollenkaan). Taulukkoa kutsutaan puolistandardiksi , jos luvut eivät pienene vaakasuunnassa vaan kasva pystysuunnassa. Kirjoittamalla, kuinka monta kertaa kukin numero esiintyi taulukossa, saadaan sarja, joka tunnetaan nimellä taulukon paino . Siksi Youngin vakiopöydät ovat täsmälleen samat kuin puolistandardipainotaulukot (1,1,…,1).

Muunnelmia

Taulukon määritelmässä on muunnelmia: esimerkiksi "rivitiukka" taulukossa luvut kasvavat tiukasti rivejä pitkin eivätkä kasva sarakkeiden mukaan. Taulukoita, joissa numerot pienenevät, käsitellään tasoosioiden teoriassa . On olemassa muita yleistyksiä (dominotaulut, nauhataulut), joissa soluja voidaan yhdistää ennen kuin niille annetaan numeroita.

Youngin vinotaulukot

Vino muoto on osioiden ( λ , μ ) pari siten , että Youngin kaavio λ : lle sisältää kaavion μ : lle ; merkintä: λ / μ . Jos λ =( λ 1 , λ 2 ,…) ja μ =( μ 1 , μ 2 ,…), niin kaavioiden upottaminen tarkoittaa, että μ i ≤ λ i kaikille i :ille . Vinomuodon λ / μ vinokaavio on λ :n ja μ : n kaavioiden joukkoteoreettinen ero : niiden neliöiden joukko, jotka kuuluvat kaavioon λ :lle, mutta eivät kuulu kaavioon μ :lle . Vinotaulukko , jonka muoto on λ / μ , saadaan täyttämällä vastaavan vinokaavion solut; tällaista taulukkoa kutsutaan puolistandardiksi, jos luvut eivät pienene riveissä ja kasva sarakkeissa; puolistandarditaulukkoa kutsutaan standardiksi, jos jokainen luku yhdestä solujen lukumäärään esiintyy täsmälleen kerran. Vaikka kartoitus osioista heidän Young-kaavioihinsa on injektiivinen, sama ei päde kartoitukseen vinomuodoista vinoon kaavioihin; [5] Vaikka monet vinotaulukoiden ominaisuudet riippuvat vain täytetyistä neliöistä, jotkut voivat riippua myös vinomuodosta. Nuoret taulut voidaan tunnistaa vinoilla tauluilla, joiden laatoitus μ on tyhjä (nollan laatoitus).

Mikä tahansa vino puolistandarditaulukko T muotoa λ / μ , joka on täytetty positiivisilla kokonaisluvuilla, muodostaa osiosarjan (tai Youngin kaavioiden sekvenssin): ensimmäinen elementti on μ ja i . elementti saadaan lisäämällä kaikki luvun sisältävät solut pienempi tai yhtä suuri kuin i ; lopulta saadaan kaavio λ . Mikä tahansa vierekkäisten muotojen pari tässä sarjassa muodostaa vinoon muodon, jossa kussakin sarakkeessa on enintään yksi solu; tällaisia muotoja kutsutaan vaakasuoriksi raidoiksi . Tämä sekvenssi määrittelee täysin taulun T , ja joskus kirjallisuudessa (esimerkiksi Macdonaldin kirjassa) vinot puolistandardimuodot määritellään tällaisiksi sekvensseiksi.

Sovellukset

Nuorilla kaavioilla on lukuisia sovelluksia kombinatoriikassa , esitysteoriassa ja algebrallisessa geometriassa . Erilaisia tapoja laskea kaavioiden lukumäärä tutkittiin, mikä johti Schur-polynomien määritelmään ja kaavoihin . On monia tunnettuja algoritmeja, jotka toimivat suoraan kaavioilla, kuten Schützenbergerin jeu de taquin ("tunnistepeli") ja Robinson-Schoensted-Knuthin kirjeenvaihto . Lasko ja Schützenberger tutkivat assosiatiivista tuotetta joukolla puolistandardeja Youngin kaavioita, mikä johti rakenteeseen, joka tunnetaan nimellä plastinen monoidi .

Esitysteoriassa standardinmukaiset Youngin taulukot, joiden koko on k , kuvaavat symmetrisen ryhmän S k pelkistymättömien esitysten perusteita . Yleisen lineaarisen ryhmän GL n äärellisulotteisen pelkistymättömän esityksen standardimonomiaalinen kanta parametroidaan joukolla puolistandardeja Youngin taulukoita, jotka ovat kiinteämuotoisia aakkosten yli {1, 2, …, n }. Tästä tosiasiasta seuraa useita tärkeitä seurauksia invarianttiteorialle , alkaen Hodgen työstä Grassmannian homogeenisista koordinaattirenkaista , jota seurasi Eisenbudin ja Jean-Carlo Rotan työ yhdessä kirjoittajien de Concini [ ja Procesi kanssa . Littlewood-Richardsonin sääntö , joka kuvaa (muun muassa) GL n :n pelkistymättömien esitysten tensoritulon hajoamista pelkistymättömiksi komponenteiksi, on muotoiltu tiettyjen vinopuolistandarditaulukoiden avulla.

Algebrallisen geometrian sovellukset keskittyvät Schubertin laskun ympärille Grassmannien ja lippujen monistoon . Joitakin tärkeitä kohemologialuokkia voidaan esittää Schubertin polynomeilla ja kuvata Youngin kaavioilla.

Sovellukset esitysteoriassa

Nuoret kaaviot ovat yksi-yhteen vastaavuus symmetrisen ryhmän redusoitumattomien esitysten kanssa ( kompleksilukujen yli ). Ne tarjoavat kätevän tavan määritellä Youngin symmetrisaattorit , joihin symmetrisen ryhmän esitysteoria perustuu . Vastaavista kaavioista voidaan päätellä monia esityksiä koskevia tosiasioita. Alla on kaksi esimerkkiä: näkymän koko ja rajoitetut näkymät.

Nuoret kaaviot parametroivat myös täyden lineaarisen ryhmän GL n pelkistymättömiä polynomisia esityksiä (kun ne sisältävät enintään n ei-tyhjää riviä) sekä erityisen lineaarisen ryhmän SL n pelkistymättömiä esityksiä (kun ne sisältävät enintään n − 1 ei -tyhjää riviä). tyhjiä rivejä) ja pelkistymättömiä kompleksisia esityksiä erityisistä unitaarisista n nSU (jälleen, kun ne sisältävät enintään n − 1 ei-tyhjää merkkijonoa). Näissä tapauksissa keskeinen rooli on puolistandarditaulukoilla, joiden numerot eivät ylitä n :ää (etenkin niiden lukumäärä määrää esitysten ulottuvuuden).

Koukkukaava

Symmetrisen ryhmän S n pelkistymättömän esityksen π λ (vastaa luvun n osiota λ ) ulottuvuus on yhtä suuri kuin osiokaaviota vastaavien erilaisten standardien Youngin taulukoiden lukumäärä. Tämä luku voidaan laskea koukkukaavalla .

Solun x koukun ( x ) pituus kaaviossa Y ( λ ) muodolla λ on solujen lukumäärä samalla rivillä oikealla plus solujen lukumäärä samassa sarakkeessa alla plus yksi (itse solu) . Koukkukaavan mukaan pelkistymättömän esityksen mitta on n ! jaettuna kaavion kaikkien koukkujen pituuksien tulolla:

\dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{{x\in Y(\lambda ))){\mathrm {koukku}}(x))).

Oikeanpuoleinen kuva havainnollistaa koukun pituudet jakokaaviossa 10 = 5 + 4 + 1. Siksi

\dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1))=288 .

Vastaavasti luvun n osiota λ vastaavan ryhmän GL r pelkistymättömän esityksen W ( λ ) dimensio (enintään r termiksi) on yhtä suuri kuin λ -muotoisten (vain numeroita sisältävien ) puolistandarditaulukkojen lukumäärä. 1 - r ), joka saadaan kaavalla:

\dim W(\lambda )=\prod _{{(i,j)\in Y(\lambda ))){\frac {r+ji}({\mathrm {koukku))(i,j))) ,

jossa indeksi i numeroi rivin ja indeksi j numeroi solun sarakkeen. [6] Esimerkiksi osio (5,4,1) luo GL 7 -ryhmän vastaavan redusoitumattoman esityksen ulottuvuuden (rivi riviltä solun läpikulku):

\dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\ cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.

Rajoitetut edustukset

Symmetrisen ryhmän S n esitys n elementillä on myös symmetrisen ryhmän esitys n − 1 elementillä S n −1 . S n :n pelkistymätön esitys ei kuitenkaan välttämättä ole S n −1 :n pelkistymätön esitys , vaan se voi olla useiden tällaisten esitysten suora summa . Näitä esityksiä kutsutaan rajoitetuiksi esitystekijöiksi .

Kysymys luvun n osiota λ vastaavan annetun pelkistymättömän esityksen S n rajoitetun esityksen hajotuksen määrittämisestä vastaa seuraavaa. Kaikki Young-kaaviot otetaan huomioon, jotka saadaan λ -muotoisesta kaaviosta poistamalla yksi solu (jonka tulee olla rivinsä ja sarakkeensa lopussa). Rajoitettu esitys hajoaa sitten näitä kaavioita vastaavien redusoitumattomien esitysten S n −1 suoraksi summaksi , joista jokainen esiintyy täsmälleen kerran summassa.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Knuth, Donald E. (2005), The Art of Programming, Volume 3: Sorting and Searching (2. painos), Williams, Addison-Wesley, s. 66 .
↑ Young, A. (1900), Kvantitatiivisesta korvausanalyysistä , Proceedings of the London Mathematical Society , Ser. 1 Vol. 33 (1): 97-145 , DOI 10.1112/plms/s1-33.1.97 . Katso erityisesti s. 133.
↑ R. Stanley Enumeratiivinen kombinatoriikka. M: Mir, 1990. s. 52.
↑ Macdonald, 1979 , s. 2.
↑ esimerkiksi vinokaavio, joka koostuu yhdestä ruudusta kohdassa (2,4) voidaan saada poistamalla alikaavio μ kaaviosta λ = (5,4,2,1) tai äärettömällä määrällä muita tapoja . Yleisesti ottaen mikä tahansa vinokaavio, jossa ei-tyhjien rivien (tai ei-tyhjien sarakkeiden) joukko ei ole jatkuva tai se ei sisällä ensimmäistä riviä (tai ensimmäistä saraketta), tulee useammasta kuin yhdestä vinomuodosta. $=(5,3,2,1)$
↑ Predrag Cvitanovic. Ryhmäteoria: lintujäljet, valheet ja poikkeukselliset ryhmät . - Princeton University Press , 2008. , ur. 9.28 ja liite B.4

Kirjallisuus

Bershtein M.A., Merzon G.A.. Nuoret kaaviot, ristikkopolut ja heijastusmenetelmä . — Esipainatus. Arkistoitu 15. huhtikuuta 2015 Wayback Machineen
Bufetov A. I. , Zhitlukhin M. M., N. E. Kozin N. E. . Nuoret kaaviot ja niiden rajamuoto . - M. : MTSNMO Publishing House, 2013. - ISBN 978-5-4439-0077-3 .
Smirnov E. Yu. Nuoret kaaviot, tasomaiset väliseinät ja vuorottelevat matriisit . - M. : MTSNMO Publishing House, 2014. - ISBN 978-5-4439-0137-4 .
Fulton, William . . Nuoret taulut, jotka soveltuvat esitysteoriaan ja geometriaan. - M. : MTSNMO Publishing House, 2006. - ISBN 5-94057-165-4 .
Cvitanovic, Predrag. . Ryhmäteoria: Lintujäljet, valheet ja poikkeukselliset ryhmät. — Princeton: Princeton University Press, 2008.
Fulton, William; Harris, Joe. . esitysteoria. Ensimmäinen kurssi. - New York: Springer-Verlag, 1991. - (Graduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics, osa 129). — ISBN 978-0-387-97495-8 . (Luento 4)
George, Howard. . Lie Algebras in Particle Physics, 2. painos. – Westview.
Macdonald I.G. Symmetriset funktiot ja Hall -polynomit . - Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1979. - viii + 180 s. - (Oxford Mathematical Monographs). — ISBN 0-19-853530-9 . MR : 84g:05003
Manivel, Laurent. . Symmetriset funktiot, Schubert-polynomit ja rappeutumispaikat. - American Mathematical Society.
Novelli, Jean-Christophe; Pak, Igor ; Stojanovkii, Aleksanteri V. Suora bijektiivinen todiste koukun pituuskaavasta . — Diskreetti matematiikka ja tietojenkäsittelyteoria , 1997, 1 . - s. 53-67.
Sagan, Bruce E. Symmetrinen ryhmä. - Springer, 2001. - ISBN 0-387-95067-2 .
Vinberg E.B. Nuori taulu // Hazewinkel, Michiel. Matematiikan tietosanakirja . - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Yong, Alexander. . Mikä on... Young Tableau? . — Notices of the American Mathematical Society , 2007, 54 (2). - s. 240-241.

Linkit

Bufetov A. I., Kozin N. E. Young diagrammit, ortogonaaliset polynomit ja satunnaismatriisit // Summer School "Modern Mathematics", 2010. 19. heinäkuuta 2010 15:30, Dubna
Weisstein, Eric W. Ferrersin kaavio // MathWorld – Wolfram-verkkoresurssi.
Weisstein, Eric W. Young Tableau // MathWorld – Wolfram-verkkoresurssi.
Puolistandarditaulukkomerkintä FindStat - tietokannassa
Tavallinen taulukkomerkintä FindStat - tietokannassa