Luettelo alkeisfunktioiden integraaleista

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Integrointi on toinen laskennan kahdesta perusoperaatiosta . Toisin kuin differentiaatiooperaatio, alkeisfunktion integraalin ei tarvitse olla alkeisfunktio. Esimerkiksi Liouvillen lauseesta seuraa , että integraali ei ole alkeisfunktio. Tunnettujen antiderivaalien taulukot ovat usein erittäin hyödyllisiä, vaikka ne ovat nyt menettämässä merkityksensä tietokonealgebrajärjestelmien myötä. Tämä sivu sisältää luettelon yleisimmin kohdatuista primitiiveistä. $e^{x^2}$

$C$ käytetään mielivaltaisena integrointivakiona, joka voidaan määrittää, jos integraalin arvo jossain vaiheessa tunnetaan. Jokaisella funktiolla on ääretön määrä antiderivaatteja.

Säännöt funktioiden integroimiseksi

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\oikea)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Perusfunktioiden integraalit

Rationaaliset funktiot

\int \!0\,dx=C

(nollan antiderivaata on vakio; millä tahansa integraatioalueella nollan integraali on yhtä suuri kuin nolla)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operaattorin nimi{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operaattorinnimi{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Todiste

Tehdään vaihto , saamme $x=a\operaattorin nimi {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operaattorinimi {tg} t) \over a^{2}+( a\operaattorinimi {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operaattorinimi {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| + C

("korkea logaritmi")

Logaritmit

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Eksponentiaaliset funktiot

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Irrationaaliset funktiot

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operaattorinnimi{arcsec}\,{|x| \yli a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\right|+C

("pitkä logaritmi")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Todiste

Oletetaanpa myös se . Käytetään hyperbolisia funktioita , tehdään korvaus $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\operaattorin nimi {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operaattorin nimi {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operaattorinnimi {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operaattorinnimi {ch} ^{2}t-1}}\operaattorinnimi {sh} tdt\\&=-a\int \operaattorinnimi {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operaattorinnimi {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ vasen({\operaattorinimi {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operaattorinimi {sh} t\operaattorinimi {ch} tt)+C_ {1}\end{aligned}}$

Mutta

$\operaattorinnimi {sh} t={\sqrt {\operaattorinnimi {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operaattorin nimi {sh} t\operaattorin nimi {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operaattorinimi {sh} t+\operaattorinimi {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Siksi

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Siten, sisällyttämällä vakion C viimeisen murtoluvun nimittäjän logaritmin, saamme

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Jos , niin substituutiolla vähennämme integraalin jo tarkasteltuun tapaukseen. Jos , niin teemme korvaavan ja suoritamme päättelyn, joka on samanlainen kuin tarkasteltavassa tapauksessa [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operaattorin nimi {sh} t$

Trigonometriset funktiot

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operaattorinnimi{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Todiste

$\int \!\operaattorinnimi{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | +C$

\int\!\operaattorinnimi{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Todiste

$\int \!\operaattorinnimi{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operaattorinnimi{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operaattorinimi {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operaattorinimi {cosec} {x}+\operaattorinimi {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operaattorinimi{tg}\,x + C

\int \!\operaattorinimi {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operaattorinimi {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operaattorinnimi{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operaattorinnimi {cosec} {x}\,\operaattorinnimi {ctg} \,{x}\,dx=-\operaattorin nimi {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operaattorinnimi{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operaattorinnimi{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \oikea)} + C

Hyperboliset funktiot

\int \operaattorinimi{sh}\,x \, dx = \operaattorinimi{ch}\,x + C

\int \operaattorinnimi{ch}\,x \, dx = \operaattorinimi{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operaattorinnimi{ch}^2\,x} = \operaattorinnimi{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operaattorinnimi{sh}^2\,x} = - \operaattorinnimi{cth}\,x + C

\int \operaattorinnimi{th}\,x \, dx = \ln |\operaattorinnimi{ch}\,x| + C

\int \operaattorinnimi{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operaattorinnimi{th}\,{x \over2}\right| +C

\int \operaattorinimi {sech} \,x\,dx=\operaattorinimi {arctg} \,\operaattorin nimi {sh} \,x+C

myös

\int \operaattorinnimi{sech}\,x \, dx = 2\, \operaattorinnimi{arctg}\, (e^x) + C

myös

\int \operaattorinimi{sech}\,x \, dx = 2\, \operaattorinimi{arctg} \, \left(\operaattorinnimi{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operaattorinnimi{cth}\,x \, dx = \ln|\operaattorinnimi{sh}\,x| +C

Todiste siitä

Todiste kaavasta : $\int \operaattorinnimi {sech} \,x\,dx=\operaattorinimi {arctg} \operaattorin nimi {sh} \,x+C$

\int \operaattorinnimi {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operaattorinnimi {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operaattorinimi {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operaattorinimi {arctg} \operaattorinimi {sh} x+C

Todiste kaavasta : . $\int \operaattorinnimi{sech}\,x \, dx = 2\operaattorinnimi{arctg}(e^x) + C$ $\int \operaattorinimi {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operaattorinimi {arctg} (e^{x})+C$

Todiste kaavasta : $\int \operaattorinnimi{sech}\,x \, dx = 2\, \operaattorinnimi{arctg}\,\left(\operaattorinimi{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operaattorinnimi {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operaattorinimi {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operaattorinimi {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operaattorinimi {th} {x \over 2}) \ yli 1+\operaattorinimi {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operaattorinimi {arctg} \,\left(\operaattorinimi {th} \,{\frac {x}{2}} \oikea)+C\end{tasattu}}

Erityisominaisuudet

\int \operaattorinnimi {Ci} (x)\,dx=x\operaattorinimi {Ci} (x)-\sin x

\int \operaattorinimi {Si} (x)\,dx=x\operaattorinimi {Si} (x)+\cos x

{\displaystyle \int \operaattorinimi {Ei} (x)\,dx=x\operaattorinimi {Ei} (x)-e^{x))

\int \operaattorinimi {li} (x)\,dx=x\operaattorinimi {li} (x)-\operaattorinimi {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operaattorinimi {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operaattorinimi {li} (x)-x

\int \operaattorinnimi {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operaattorinimi {erf} (x) )

Muistiinpanot

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Matemaattisen analyysin tehtäviä ja harjoituksia. 2 kirjassa. Kirja. 1 / Ed. V.A. Sadovnichy. - 2. painos - M .: Higher School , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografia

Kirjat

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Integraalit, summat, sarjat ja tuotteet. - 4. painos - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Integraalitaulukot Pietari: Kustantaja ja painotalo JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 s. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31. painos, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz ja I. A. Stegun, toim. Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille . - M . : " Nauka ", 1974.

Integraalitaulukot

Integraalien laskeminen

Listat integraaleista funktiotyypeittäin
Perus järkevää irrationaalinen trigonometrinen käänteinen hyperbolinen käänteinen eksponentiaalinen logaritmiset funktiot