Bogolyubovin "kiilan reuna" -lause

Bogolyubovin "kiilan reuna" -lause sanoo, että useiden kompleksisten muuttujien funktio, joka on holomorfinen kahdella kiilan muotoisella alueella, joilla on yhteinen reuna, jolla se on jatkuva, on myös holomorfinen reunalla. Tätä lausetta käytetään kvanttikenttäteoriassa Wightmanin funktioiden analyyttisen jatkon rakentamiseen . Lauseen ensimmäisen muotoilun ja todistuksen esitti [1] N. N. Bogolyubov kansainvälisessä konferenssissa Seattlessa, USA:ssa (syyskuu 1956), ja se julkaistiin myös monografiassa [2] (Liite A, Lause 1). Myöhemmin Jost ja Lehmann (1957), Dyson (1958), Epstein (1960) ja muut matemaatikot esittivät lauseen muita todisteita ja yleistyksiä [3] . Tärkeitä "kiilan reuna" -lauseen sovelluksia ovat: dispersiosuhteiden todistaminen kvanttikenttäteoriassa, aksiomaattinen kvanttikenttäteoria, yleistettyjen funktioiden teoria, Liouvillen lauseen yleistäminen [3] .

Yksiulotteinen kotelo

Yhden kompleksisen muuttujan funktioille "kiilan reuna" -lause voidaan muotoilla seuraavasti.

Lause: Olkoon f jatkuva kompleksiarvoinen funktio kompleksitasolla, holomorfinen ylemmällä ja alemmalla puolitasolla. Silloin se on holomorfinen koko kompleksitasolla.

Tässä esimerkissä kiilat ovat ylempi ja alempi puolitaso, ja niiden yhteinen kärki on todellinen akseli. Annettu lause voidaan todistaa käyttämällä Moreran lausetta .

Yleinen tapaus

Yleensä kiila on kartion ja avoimen sarjan tuote.

Olkoon C avoin kartio, jonka kärki on nollassa reaaliavaruudessa R n . Olkoon E avoin joukko R n :ssä (piste). Määrittelemme kiilat ja kompleksiavaruudessa C n . Kiiloilla ja W': llä on yhteinen piste E , jossa identifioimme E :n ja kartion kärjen tulon . $W=E\times iC$ $W'=E\times -iC$ $W$

Bogolyubovin kiilareunalause: Olkoon f jatkuva funktio liitossa , holomorfinen molemmilla kiiloilla ja W' . Silloin f on myös holomorfinen E :ssä (tarkemmin sanottuna se voidaan analyyttisesti laajentaa johonkin E :n lähialueeseen ). $W\cup E\cup W'$ $W$

Lauseen ehtoja voidaan heikentää. Ensinnäkin ei ole tarpeen määritellä f :tä kokonaan kiiloilla, riittää, että f määritellään jossain kärjen ympäristössä. Toiseksi ei ole tarpeen olettaa, että f on määritelty tai jatkuva kärjessä, riittää, että oletetaan, että f :n rajojen antamat kahdesta kärjestä saadut funktiot ovat yhtä suuret.

Sovellukset kvanttikenttäteoriassa

Wightman-jakauman kvanttikenttäteoriassa Wightman-funktioiden raja-arvot riippuvat Minkowski-avaruuden kompleksointimuuttujista . Ne ovat määriteltyjä ja holomorfisia kiilalla, jossa kummankin kuvitteellinen osa on avoimessa positiivisessa aikamaisessa kartiossa. Muuttujien permutaatiot antavat erilaisia Wightman-funktioita, jotka on määritelty eri kiiloille. Kärki on joukko avaruuden kaltaisia pisteitä. Bogolyubovin kiilapistelauseesta seuraa, että ne kaikki ovat yhden holomorfisen funktion analyyttisiä laajennuksia, jotka on määritelty kaikki kiilat sisältävälle yhdistetylle alueelle. Tässä tapauksessa raja-arvojen yhtäläisyys kärjessä seuraa paikallisuuden aksioomasta kvanttikenttäteoriassa. $W(z_{1},\dots ,z_{n})$ $z_{i}$ ${\displaystyle z_{i}-z_{i-1))$ $n!$ $n!$ $n!$

Katso myös

"Kiilan reuna" -lauseen soveltaminen kvanttikenttäteoriassa:

Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Aksiomaattisen lähestymistavan perusteet kvanttikenttäteoriassa. - M.: Nauka, 1969.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Kvanttikenttäteorian yleiset periaatteet. - 2. painos Moskova: Fizmatlit, 2006. ISBN 5922106120 .
Streeter R., Wightman A.S. PCT, spin ja tilastot ja kaikki. 1966.

Muistiinpanot

↑ Vladimirov V.S. Useiden monimutkaisten muuttujien funktioteorian menetelmät . - Moskova: Nauka, 1964. - S. 294-311. (Venäjän kieli)
↑ Bogolyubov N. N., Medvedev B. V., Polivanov M. K. Dispersiosuhteiden teorian kysymyksiä (uuspr.) . - Moskova: Fizmatgiz, 1958.
↑ 1 2 Vladimirov V. S. Bogolyubovin "kiilan reuna" -lause, sen kehitys ja sovellukset // Teoreettisen fysiikan ongelmat. Nikolai Nikolajevitš Bogolyuboville hänen 60-vuotissyntymäpäivänsä yhteydessä omistettu kokoelma. - M., Nauka , 1969. - Levikki 4000 kappaletta. - c. 61-67