Bogomolovin hajoamislause

Bogomolovin hajoamislause kuvaa Kähler -monistojen rakennetta triviaalilla kanonisella nipulla (tai yleisemmin kanonisen nipun todellisen ensimmäisen Chern-luokan nollalla). Lisätietoja tämän tyyppisistä jakotuista on Calabi-Yau jakotukkiartikkelissa .

Sanamuoto

Olkoon kompakti Kähler-jakotukki, sen kanoninen nippu ja . Sitten on äärellinen peite , jossa holomorfinen isomorfismi pätee , jossa: $X$ $K_{X}=\Lambda ^{\dim X}T^{*}X$ $c_{1}(K_{X})=0\in H^{2}(X,\mathbb {R} )$ ${\widetilde {X}}\to X$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}=T\times \prod _{j}Y_{j}\times \prod _{k}Z_{k))$

$T$ on monimutkainen torus ,
${\näyttötyyli Y_{j))$ ovat tiukkoja Calabi-Yau -lajikkeita , eli lajikkeita, joilla on triviaali kanoninen luokka, joka on sellainen, että ja varten . $h^{0,0}(Y_{j})=h^{\dim Y_{j},0}(Y_{j})=1$ $h^{p,0}(Y_{j})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{j))$
$Z_{k}$ ovat redusoitumattomia holomorfisesti symplektisiä monistoja , eli monistoja, jotka sallivat ei missään degeneroituneen suljetun holomorfisen 2-muodon siten, että for parillinen ja pariton for . $h^{q,0}(Z_{k})=1$ $q$ $h^{q,0}(Z_{k})=0$ ${\displaystyle 0\leqslant q\leqslant \dim Z_{k))$

Tässä ovat Hodge-luvut , Hodge-tyyppisten muotojen edustamien de Rham-kohomologialuokkien tilojen mitat . ${\displaystyle h^{r,s))$ $(r,s)$

Historia

Varhainen versio hajotteluteoreemasta, joka ei tehnyt eroa Calabi-Yaun monistojen ja holomorfisesti symplektisten monistojen välillä ja väitti vain äärellisen päällysteen olemassaolon, joka jakautuu monimutkaisen toruksen tuotteeksi ja yksinkertaisesti liittää monistoja triviaalisilla kanonisilla nipuilla. Calabi hänen nimensä olettamusten perusteella vuonna 1957. [1] Yau todisti Calabi- oletuksen vuosina 1977-1978.

Bogomolovin alkuperäinen todistus , joka julkaistiin artikkelisarjassa vuosina 1973 ja 1974, [2] [3] [4] ei käyttänyt Calabi-Yau-lausetta. Se kuitenkin perustuu seuraavaan monimutkaiseen lausuntoon:

Lemma. Olkoon yksinkertaisesti yhdistetty kompakti Kähler-jakotukki triviaalilla kanonisella nipulla, ja olkoon alarivi, jonka korkein ulompi aste on myös triviaali nippu. Sitten tapahtuu hajoaminen ja . $M$ $E\subsetTM$ $m$ $\Lambda ^{m}E$ $M=Q\times R$ $TQ=E$

Tämä on erittäin vaikea kysymys, jota ei ole vielä täysin ratkaistu, ilman oletusta tarkasteltavana olevan alipehmen korkeimman ulomman asteen triviaalisuudesta. Se, miten tämä oletus tarkalleen auttaa todistetta, ei ole täysin selvää (vaikka sen myötä väite tulee todeksi, jos vain siksi, että se itse seuraa Bogomolovin lauseesta).

Yaun Calabi-oletuksen ratkaisun jälkeen Bogomolovin lauseen täysin tiukka todistus tuli laajalti tunnetuksi asiantuntijoiden keskuudessa. Se julkaistiin virallisesti Beauvillen vuoden 1983 paperissa Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle , [5] minkä vuoksi lausetta kutsutaan joskus "Beauville-Bogomolov-lauseeksi" tai "Beauville-Bogomolov-Calabi-lauseeksi". Lisäksi Beauville korjasi Bogomolovin olennaisen virheen: vuoden 1978 julkaisussa Hamiltonin Kählerin monisto [6] , Bogomolov esitti olennaisen vahvistuksen dekompositioteoreemaan, jonka mukaan jokainen redusoitumaton holomorfisesti symplektinen monisto (kuten Bogomolov kutsuu, primitiivinen Hamiltonin monisto ) on K3-pinta . Beauville huomautti, että Hilbertin nollaulotteisten aliskeemojen malli K3-pinnalla voi toimia vastaesimerkkinä tälle väitteelle. Tästä havainnosta syntyi laaja monimutkaisen geometrian haara, jota kutsutaan holomorfisesti symplektiseksi tai hyperkählerilaiseksi geometriaksi.

Samaan aikaan Yaun ratkaisu Calabi-oletuksiin käyttää vaikeita tekniikoita osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriasta, kun taas Bogomolovin todistus on luonteeltaan paljon geometrisempi.

Luonnos todisteesta

Yaun Calabi-oletuksen mukaan kompakti Kähler-jakoputkisto, jonka kanonisen nipun todellinen Chern-luokka on nolla, hyväksyy Ricci-litteän Kähleri-metriikan. Sen holonomia on erityisessä yhtenäisryhmässä ; de Rhamin hajoamislauseen mukaan tämän jakoputken universaali päällyste jakautuu tuotteeksi , jossa on yksinkertaisesti yhdistetty kompakteja Kähler-jakoputkia, joissa on pelkistymätön holonomiaryhmä . Erityisesti nämä jakoputket ovat itse Ricci-litteitä; Cheeger-Gromall- lauseesta seuraa , että ne ovat kompakteja, ja koska symmetrisen Kähler-sarjan Ricci-kaarevuus on ehdottomasti positiivinen, nämä monistoputket eivät ole paikallisesti symmetrisiä, joten niiden holonomiaryhmä on yksi Bergerin taulun ryhmistä . Näistä ryhmistä vain ryhmät ja voivat sisältyä (kvaternionavaruuden unitaaristen muunnosten ryhmä, tai vastaavasti ryhmä hermiittisiä muunnoksia, jotka säilyttävät ei-degeneroituneen kompleksisen vinosymmetrisen 2-muodon); ne vastaavat tiukkoja Calabi-Yaun monistoja ja redusoitumattomia holomorfisesti symplektisiä monistoja: todellakin, Bochnerin periaatteen mukaan Kähleriin nolla-Riccin kaarevuusluokissa holomorfiset tensorit ovat yhdensuuntaisia, joten osuudet , holomorfiset -muodot ovat yhdensuuntaisia ja ne annetaan invarianteille vektoreille tuo holonomiaryhmän ulompi voimaesitys kotangenttiavaruudessa, tässä tapauksessa ryhmän koautologinen esitys tai . Ensimmäisessä tapauksessa invarianttivektori on olemassa vain , kun ulompi teho on triviaali, ja , kun invarianttivektori on annettu kompleksitilavuusmuodolla. Toisessa, jokainen invariantti vektori on verrannollinen , jossa on monimutkainen 2-muoto säilynyt ryhmän . ${\mathrm {SU}}(n)$ $\mathbb {C} ^{k}\times \prod X_{i}$ $X_{i}$ ${\mathrm {SU}}(n)$ ${\mathrm {SU}}(n)$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $H^{p,0}$ $s$ $s$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $p = 0$ $p=m$ ${\displaystyle \Omega \wedge \Omega \dots \Omega =\Omega ^{\wedge p))$ $\Omega$ $\mathrm {Sp} (2m)$

On vielä todistettava rajallisen päällysteen olemassaolo, jonka jälkeen nämä kompaktit yksinkertaisesti yhdistetyt tekijät irtosivat. Merkitsemme heidän tuotteensa merkillä , mikä tarkoittaa, että perusryhmä toimii . Huomaa, että automorfismiryhmä on diskreetti: muuten tapahtuu toiminto holomorfisessa vektorikentässä, jonka on edellä mainitun Bochner-periaatteen nojalla oltava rinnakkainen. Siten ryhmien tautologisessa esityksessä tai olisi invariantti vektori, mikä on absurdia. De Rham -hajoamisen ainutlaatuisuudesta seuraa, että perusryhmän toiminta universaalilla peitteellä säilyttää hajoamisen , toisin sanoen jokainen elementti vastaa muunnoksia ja . Olkoon kartoitusydin ; se toimii vapaasti säilyttäen hermiittisen metriikan, ja tämän toiminnan osamäärä on kompakti. Bieberbachin kristallografisia ryhmiä koskevan lauseen mukaan sen aliryhmällä , joka koostuu rinnakkaisista käännöksistä, on äärellinen indeksi. Siksi rinnakkaisista käännöksistä koostuvan ryhmän affinisella avaruudella on kompakti kerroin, eli kompleksi torus ; tuote kattaa , mikä vaaditaan. $M$ $\pi _{1}(X)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $M$ $M$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $u\in \pi _{1}(X)$ ${\displaystyle u_{1}\colon \mathbb {C} ^{k}\to \mathbb {C} ^{k))$ $u_{2}\colon M\to M$ $\Gamma \subset \pi _{1}(X)$ $u\mapsto u_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k))$ $\Gamma '\subset \Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C} ^{k}/\Gamma '$ $T$ ${\displaystyle T\times M=T\times \prod Y_{i}\times \prod Z_{j))$ $X$

Seuraukset ja yleistykset

Bogomolov-laajennuksesta seuraa suoraan, että litteän kanonisen nipun sisältävän kompaktin Kähleri-jakoputken perusryhmällä on hyvin yksinkertainen rakenne, nimittäin se kartoitetaan vapaaseen Abelin ryhmään, jossa on äärellinen ydin. Mielivaltaisten kompaktien Kähler-jakotukkien perusryhmät voivat olla paljon monimutkaisempia.

Campana , Dumai ja Peternel tutkivat Bogomolovin hajoamislauseen yleistystä sellaisten monistojen tapauksessa, joissa on hermiittinen puolipositiivinen antikanoninen nippu (eli sellainen, joka sallii tasaisen hermiittisen yhteyden, jonka kaarevuus on puolipositiivinen muoto). Bogomolovin lauseen lohkoihin on lisätty joitain rationaalisesti yhteenliitettyjä muunnelmia niiden lauseeseen. [7]

Bogomolovin lauseesta on myös osittaisia yleistyksiä singulaarisille monille, kuten sellaisille, joilla on klt-singulaarisuus . [8] Koska niiden ydin on algebrallisten foliaatioiden lajikkeiden tutkimus, ne osoittavat Bogomolovin todisteen taustalla olevien geometristen ideoiden tärkeyden.

Muistiinpanot

↑ E. Calabi. Kähler-jakotukissa, joissa on katoava kanoninen luokka , algebrallinen geometria ja topologia. Symposium S. Lefschetzin kunniaksi, s. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Lajikkeista, joilla on triviaalinen kanoninen luokka , Uspekhi Mat . Nauk , 1973, osa 28, numero 6(174), sivut 193–194
↑ F. A. Bogomolov. Kählerian jakoputket triviaalilla kanonisella luokalla Arkistoitu 21. kesäkuuta 2022 paikassa Wayback Machine , Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. matematiikka. , 1974, osa 38, numero 1, sivut 11–21
↑ F. A. Bogomolov. Kähler-jakoputkien hajoamisesta triviaalin kanonisen luokan kanssa Arkistoitu 27. heinäkuuta 2013 Wayback Machinessa , Mat. la , 1974, osa 93(135), numero 4, sivut 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arkistoitu 21. joulukuuta 2019, Wayback Machine , J. Differential Geom., Volume 18, Number 4 (1983), 755-782.
↑ F. A. Bogomolov. Hamiltonin Kähler jakoputket , Dokl. Neuvostoliiton tiedeakatemia , 1978, osa 243, numero 5, sivut 1101–1104
↑ F. Campana, J.-P. Demailly, Th. Peternell. Rationaalisesti yhdistetyt jakoputket ja Riccin kaarevuuden puolipositiivisuus Arkistoitu 21. helmikuuta 2022 Wayback Machinessa , 2012
↑ F. Campana. Bogomolov-Beauville-Yau Decomposition for Klt Projective Varities with Trivial First Chern Class -Without Tears - Arkistoitu 2. syyskuuta 2020 Wayback Machinessa , 2020