Burnsiden lause

Burnsiden lause on klassinen lause äärellisten ryhmien teoriassa .

Lauseen todisti William Burnside 1900-luvun alussa. [1] Burnsiden lause on pitkään ollut tunnetuin esitysteorian sovellus ryhmäteoriaan . Goldsmith löysi todisteen ilman ryhmähahmoja paljon myöhemmin. [2]

Sanamuoto

Olkoon ryhmällä järjestys , missä ja ovat alkuluvut . Sitten se on sallittua . $G$ ${\displaystyle p^{a}\cdot q^{b))$ $s$ $q$ $G$

Lauseesta seuraa, että jokaisella ei-Abelin äärellisellä yksinkertaisella ryhmällä on järjestys, joka on jaollinen kolmella erillisellä alkuluvulla.
- Erityisesti pienimmällä ei-Abelin äärellisellä yksinkertaisella ryhmällä , vuorottelevalla ryhmällä, on järjestys . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Matemaattista induktiota käyttämällä riittää todistamaan, että tietyn asteen yksinkertainen ryhmä on Abelin [3] . $G$
Sylow'n lauseen mukaan ryhmällä on joko ei- triviaali keskus tai kokokonjugasioluokka joillekin . Ensimmäisessä tapauksessa, koska keskus on ryhmän normaali alaryhmä , sen on oltava sama kuin keskusta ja siten oltava Abelin. Tämä tarkoittaa, että toinen tapaus on totta: ryhmässä on sellainen elementti , että elementin konjugaatioluokan koko on . $G$ $p^{r}$ $r\geqslant 1$ $G$ $x$ $G$ $x$ $p^{r}>1$
Käyttämällä ryhmämerkkien ortogonaalisuusominaisuuksia ja algebrallisten lukujen ominaisuuksia voidaan todistaa ei-triviaalin pelkistymättömän ryhmämerkin olemassaolo siten, että . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
Ryhmän yksinkertaisuudesta seuraa, että mikä tahansa monimutkainen pelkistymätön hahmon esitys on tosi (tai tarkka), ja tästä seuraa, että se kuuluu ryhmän keskustaan , mikä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että konjugaatioluokan koko on suurempi kuin 1. $G$ $\chi$ $x$ $G$

Pienin alkuluku ratkaisemattoman äärellisen ryhmän kertaluvun laajennuksessa tulee laajennukseen vähintään potenssiin 2.

↑ Burnside, W. (1904), On Groups of Order p α q β , Proc. Lontoon matematiikka. soc. (nro s2-1(1)): 388-392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), Ryhmäteoreettinen todiste parittomien alkulukujen p a q b -lauseesta , Math. Z. T. 113: 373-375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Algebran elementit. - M.: Nauka, 1986. - S. 228-229. – Levikki 21 000 kappaletta.

James, Gordon; ja Liebeck, Martin (2001). Ryhmien esitykset ja hahmot (2. painos). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Luku 31
Fraleigh, John B. (2002) Abstract Algebran ensimmäinen kurssi (7. painos). Addison Wesley . ISBN 0-201-33596-4 .