Gauss-Ostrogradsky-kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. heinäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Gauss-Ostrogradsky-kaava yhdistää jatkuvasti differentioituvan vektorikentän virtauksen suljetun pinnan läpi ja tämän kentän hajaantumisen integraalin tämän pinnan rajoittaman tilavuuden yli.

Kaavaa käytetään tilavuusintegraalin muuntamiseen integraaliksi suljetulla pinnalla ja päinvastoin.

Sanamuoto

Vektorivirtaus suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin pinnan rajoittaman tilavuuden integraali [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operaattorin nimi {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operaattorinimi {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

Koordinaattimerkinnöissä Ostrogradsky-Gaussin kaava on seuraavanlainen:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z }}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- vektoriprojektiot

\mathbf {a}

Seuraukset Ostrogradsky-Gaussin lauseesta: 1) solenoidikentässä ( ) minkä tahansa suljetun pinnan läpi kulkeva vektorivirta on yhtä suuri kuin nolla.

\operaattorin nimi {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) jos suljetun pinnan sisällä on lähde tai nielu , niin tämän pinnan läpi kulkeva vektorivuo ei riipu sen muodosta.

S

\mathbf {a}

Muistiinpanot

Ostrogradskyn työssä kaava on kirjoitettu seuraavassa muodossa:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

missä ja ovat vastaavasti tilavuus- ja pintaerot. ovat funktioita, jotka ovat jatkuvia ensimmäisen kertaluvun osittaisten derivaattiensa kanssa suljetulla avaruuden alueella, jota rajoittaa suljettu sileä pinta [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Kaavan nykyaikainen merkintä:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

missä ja . _ Nykyaikaisessa merkinnässä - tilavuuden elementti, - pinnan elementti [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

Ostrogradskyn kaavan yleistys on Stokesin kaava rajallisille jakoputkille .

Historia

Lagrange perusti lauseen ensimmäisen kerran vuonna 1762 [3] .

Yleisen menetelmän kolmoisintegraalin muuntamiseksi pintaintegraaliksi esitti ensimmäisenä Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) käyttämällä esimerkkiä sähködynamiikan ongelmista [4] .

Vuonna 1826 M. V. Ostrogradsky johti kaavan yleisessä muodossa esittäen sen lauseena (julkaistu vuonna 1831 ). M. V. Ostrogradsky julkaisi kaavan moniulotteisen yleistyksen vuonna 1834 [4] . Tämän kaavan avulla Ostrogradsky löysi lausekkeen derivaatalle muuttujarajoilla olevan -kerta-integraalin parametrin suhteen ja sai kaavan -kerta-integraalin variaatiolle . $n$ $n$

Ulkomailla kaavaa kutsutaan yleensä "divergenssilauseeksi" ( englanninkielinen divergenssilause ), joskus - Gaussin kaavaksi tai "Gauss-Ostrogradsky-kaavaksi (lause)."

Katso myös

Muistiinpanot

↑ "Ylemmän koulun matemaattinen sanakirja" V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Kustantaja MPI. artikkeli "Ostrogradskyn lause" sivu 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. et al. Matemaattinen analyysi. Kurssin jatko / V. A. Iljin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. Ed. A. N. Tikhonova. - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1987. - 358 s.
↑ Ääniteoriaa käsittelevässä teoksessaan vuonna 1762 Lagrange tarkastelee lauseen erikoistapausta: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Uusia tutkimuksia äänen luonteesta ja etenemisestä), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Uusintapainos: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Arkistoitu 15. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa JA Serretissä, toim., Oeuvres de Lagrange , (Pariisi) , Ranska: Gauthier -Villars, 1867), voi. 1, sivut 151-316; sivuilla 263-265 Arkistoitu 13. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa Lagrange muuntaa kolmoisintegraalit kaksoisintegraaleiksi käyttämällä osien integrointia .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matemaattiset termit (Viitekirja). Moskova: Higher School, 1978, s. 150-151.

Kirjallisuus

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Muo. l'Acad. (VI), 1, s. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. //Muo. l'Acad., 1, s. 35-58, 24/1 1834 (1838).

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)