Nash-Kuiperin lause

Nash-Kuiperin lauseessa sanotaan, että mikä tahansa -ulotteisen Riemannin moniston tasainen lyhyt upottaminen (tai upotus ) euklidiseen avaruuteen klo voidaan approksimoida -tasaisella isometrisellä upotuksella (tai upotuksella). $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q))$ $q>n$ $C^1$

Sanamuoto

Termi "isometrinen upottaminen/upotus" tarkoittaa tässä vastaavasti upottamista/uppoamista, joka säilyttää käyrien pituudet.

Tarkemmin:

Olkoon Riemannin monisto ja lyhyt- sileä upotus (tai upotus ) euklidiseen avaruuteen ja . Sitten mille tahansa on olemassa upottaminen (tai vastaavasti upotus) , joka on sellainen $(M,g)$ $f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q))$ $q>n$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$

$f_{\varepsilon }$ on sileä, $C^1$
(isometrinen ) mille tahansa kahdelle tangenttivektorille pisteen tangenttiavaruudessa : $v,w\in T_{x}(M)$ $x\in M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -läheisyys) kaikille . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ $x\in M$

Tämä tulos on erittäin ristiriitainen . Siitä seuraa erityisesti, että mikä tahansa suljettu suuntautunut pinta voidaan upottaa isometrisesti mielivaltaisen pieneen kolmiulotteiseen palloon. Gaussin kaavasta seuraa, että tällainen upottaminen on mahdotonta -embedding-luokassa. $C^1$ $C^{2}$

Historia

Lauseen osoitti sen sijaan Nash oletuksella , ja Kuiper toi sen nykyiseen muotoon yksinkertaisen tempun avulla. $q>n+1$ $q>n$

Yleistysmuunnelmia

Nash-lause tavallisista upotuksista
Gromovin laskoslause sanoo, että jokaiselle lyhyelle kuvaukselle -ulotteisesta Riemannin monista on olemassa mielivaltaisen läheinen (epätasainen) kartoitus, joka säilyttää käyrien pituudet. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Kirjallisuus

N. H. Kuiper . C 1 -isometrisillä upotuksilla // Matematiikka . - 1957. - T. 1 , nro 2 . - S. 17-28 . (Venäjän kieli)

J. Nash . C 1 -isometriset upotukset // Matematiikka . - 1957. - T. 1 , nro 2 . - s. 3-16 . (Venäjän kieli)