Rees-Fischerin lause

Ries-Fischer-lause on funktionaalinen analyysilausunto Lebesguen ja Hilbert - avaruuden isometriasta ja isomorfismista . $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $l_{{2}}$

Todisti vuonna 1907 itsenäisesti Frigyes Ries ja Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Todiste

Otetaan avaruuteen jokin täydellinen ortonormaali järjestelmä . Sitten kaikille meillä on , ja Parsevalin tasa-arvon perusteella . Siten funktion Fourier-kertoimien sarjaa voidaan pitää Hilbert-avaruuden elementtinä . Tässä tapauksessa kirjeenvaihto on selvä. Päinvastoin, annetaan Hilbert-avaruuden elementti . Tarkastellaanpa muodollisesti sarjaa , jossa on sama täydellinen ortonormaali järjestelmä. Tämän sarjan osittaissummien sarja suppenee keskimäärin itsessään, koska sarjan konvergenssin vuoksi ja johtuen . Koska avaruus on täydellinen, tämä tarkoittaa, että sarja konvergoi, sen summalla on Fourier-kertoimet ja laitamme tämän summan vastaamaan elementtiä . Jälleen kirjeenvaihto on selvä. Joten olemme luoneet yksi-yhteen vastaavuuden avaruuselementtien ja . Koska ilmeisesti ja , se seuraa :sta , eli meidän vahvistamamme vastaavuus on isomorfismi. Lopuksi, kahdelle elementille meillä on Parseval-yhtälön perusteella ja luomamme vastaavuus säilyttää etäisyyden, eli ne ovat isometrisiä . $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t),\xi _{{i}} =\left(x,\varphi _{{i}}\oikea)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $x\in l_{{2}}$ $l_{{2}}$ $x=\left\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\oikea\}$ $x(t)\nuoli oikealle x$ ${\bar {y}}=\left\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\oikea\}$ $l_{{2}}$ $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\{\varphi _{{i}}(t)\right\}$ $s_{{n}}(t)=\summa _{{i=1}}^{{n}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{{2}}\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $p>0$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\rightarrow y(t)$ $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $l_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\summa _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)+\sum _ {{i=1}}^{{\infty }}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{{i=1}}^{{\infty } }\left(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum _{{i=1}}^({\infty }}\xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)=\sum _{ {i=1}}^{{\infty }}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\nuoli vasemmalle oikealle x,y(t)\nuoli vasemmalle oikealle y$ $x(t)+y(t)\vasen oikea nuoli x+y,\lambda x(t)\vasen oikea nuoli \lambda x$ $x(t),y(t)\in L_{{2}}\left(a,b\right)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)\varphi _{{i}}(t)\right\|^{{2}}=\sum _{{i=1}} ^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\oikea)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\vasen(a,b\oikea)$ $l_{{2}}$

Kirjallisuus

Sobolev VI Luennot matemaattisen analyysin lisäluvuista. - M .: Nauka, 1968 - s. 218.