Weierstrass-Stone -lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. huhtikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Weierstrass-Stone-lause on väite mahdollisuudesta esittää mikä tahansa jatkuva funktio Hausdorffin kompaktissa, joka on asetettu tietyn luokan jatkuvien funktioiden tasaisesti suppenevan sekvenssin rajalla - kivialgebralla .

Alun perin muotoili ja todisti Karl Weierstrass vuonna 1885 funktioille, jotka jatkuvat todellisen suoran segmentillä , mikä mahdollistaa niiden tasaisen approksimoinnin polynomijonolla . Vuonna 1937 Marshall Stone yleisti oleellisesti tuloksen laajentamalla tuloksen funktioihin, jotka ovat jatkuvia mielivaltaisessa T 2 -erotettavassa kompaktissa avaruudessa muodostaen renkaan , ja tasaisesti konvergensseina funktiojonoina polynomien sijasta funktioihin tietty alaluokka jatkuvista funktioista, jotka muodostavat alirenkaan.

Myöhemmin tuloksesta löydettiin muita yleistyksiä .

Weierstrassin lause

Antaa olla jatkuva funktio määritetty väli . Sitten mille tahansa on olemassa polynomi , jolla on todelliset kertoimet siten, että ehto [1] täyttyy samanaikaisesti niille kaikille . $f$ $[a,b]$ $\varepsilon > 0$ $s$ $x$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Jos se on jatkuva ympyrällä (jaksollinen), lause pätee myös trigonometrisille polynomeille . $f(x)$

Lause pätee myös kompleksiarvoisille funktioille, mutta silloin polynomin kertoimia tulee pitää kompleksilukuina ja niiden kompleksikonjugaatiot tulee lisätä polynomeihin. $s$

Pääpiirteet Weierstrass-todistuksesta

Lauseen perusti Karl Weierstrass vuonna 1885 [2] yleisemmän väitteen seurauksena: todellisille kaikkialla määritellyt jatkuvat funktiot ja , joiden absoluuttinen arvo ei ylitä tiettyä rajaa, ei muuta etumerkkiään missään ja täyttää yhtälön , ja integraali konvergoi sille: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

suoritettu:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

Suorasta todistuksesta seuraa välittömästi, että raja ei ole vain olemassa ja on yhtä suuri kuin , vaan myös, että konvergenssi on tasainen , muuttuen millä tahansa äärellisellä välillä. $f(x)$ $x$

Kun otetaan huomioon jokainen perheen toiminto: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

on täysin määritelty kaikille monimutkaisille ja on kokonainen . Siksi ne voidaan approksimoida tasaisesti minkä tahansa säteen ympyrässä polynomeilla ( Abelin lause ). Tämä tarkoittaa välittömästi, että mikä tahansa jatkuva funktio voidaan yhdenmukaisesti approksimoida minkä tahansa äärellisen välin polynomeilla. $x$ $f(x)$

Jos lisäksi on jaksollinen funktio , jossa on jakso , funktiot ovat kokonaisia jaksollisia funktioita. Mutta toisaalta: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\oikea)

on yksiarvoinen ja holomorfinen funktio verkkotunnuksessa ja laajenee siksi Laurent-sarjaksi : $z\not=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\oikea)}

siksi , ja näin ollen se voidaan approksimoida trigonometrisilla polynomeilla. $F_k(x)$ $f(x)$

Weierstrassin tuloksen merkitys

1800-luvun puolivälissä ajatus funktiosta analyyttisenä ilmaisuna näytti olevan täysin vanhentunut ja integraali- ja differentiaalilaskennan perusteella muodostettu analyysi harjoitti mielivaltaisia funktioita, esimerkiksi Hermann Hankel erityisesti huomattiin: jokin aikaväli vastaa tiettyä arvoa ; samalla ei ole väliä, riippuuko se yhden lain mukaan koko välissä ja voidaanko tämä riippuvuus ilmaista matemaattisilla operaatioilla ” [3] korostaen, että jokaista funktiota ei voida esittää analyyttisellä lausekkeella. Vastauksena tähän Weierstrass kirjoitti teoksen "Ns. mielivaltaisten funktioiden analyyttisestä esityksestä", jossa osoitettiin, että mielivaltainen jatkuva funktio on polynomien raja. Myöhemmin kävi ilmi, että jopa kaikkein "patologisimmat" toiminnot, esimerkiksi Dirichlet-funktio , sallivat tällaiset esitykset, mutta vain suurella määrällä kohtia rajaan asti. $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$

Topologiset seuraukset

Weierstrassin lauseen mukaan jatkuvien reaali- tai kompleksiarvoisten funktioiden avaruus segmentillä, jolla on yhtenäinen normi, on erotettavissa : rationaalisilla tai kompleksi-rationaalisilla kertoimilla varustettujen polynomien avaruus on vaadittu laskettava kaikkialla tiheässä aliavaruudessa .

Stonen yleistys

Vuonna 1935 Stone osoitti, että mikä tahansa funktio reaaliarvoisten funktioiden renkaasta, joka jatkuu Hausdorffin kompaktissa , voidaan yhdenmukaisesti approksimoida erityisluokan funktioilla, jotka muodostavat kivialgebran, eli mikä tahansa kivialgebra on kaikkialla avaruudessa tiheästi. jatkuvista toiminnoista kompaktissa: . Tasaisen konvergenssin normiksi otamme , ja kivialgebra määritellään osaalgebraksi , jonka elementit erottavat pisteet . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Tarkemmin sanottuna kivialgebra on joukko funktioita renkaasta , joka täyttää seuraavat ehdot: $C_{0}$ $C(K)$

yhdessä minkä tahansa elementtinsä kanssa kivialgebra sisältää seuraavat elementit: ( ), , ; $f, g \in C_0$ $vrt$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
kivialgebra sisältää vakiofunktion ; $yksi$
jokaiselle erillisten pisteiden parille on olemassa ainakin yksi funktio , niin että . $x_{1}, x_{2} \in K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Lisää yleistyksiä

Weierstrass-Stone-lauseessa on useita yleistyksiä eri suuntiin. Esimerkiksi Mergelyanin lauseen mukaan mikä tahansa funktio, joka on jatkuva missä tahansa kompaktissa joukossa, jossa on yhdistetty komplementti kompleksitasolla ja holomorfinen sen sisäpisteissä, voidaan yhdenmukaisesti approksimoida kompleksisilla polynomeilla. Lisäksi löydettiin yleistyksiä, jotka mahdollistavat Hausdorffin kompaktin sijasta funktioiden, jotka ovat jatkuvia mielivaltaisessa Tikhonov-avaruudessa .

Katso myös

Bernsteinin polynomi

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. Vol. 3, s. 734
↑ Weierstrass K. // Math. Werke. bd. 3. s. 1.
↑ Lainattu. kirjoittanut Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Kirjallisuus

Weierstrass-Stone teoreema - Encyclopedia of Mathematics artikkeli . V. I. Ponomarev
Dzyadyk VK Johdatus funktioiden tasaisen approksimoinnin teoriaan polynomeilla. - M .: Nauka, 1977. - 512 s.