Challin lause liikkeiden luokittelusta

Challin lause luokittelee kaikki tason isometriset muunnokset (liikkeet).

Nimetty Michel Challin mukaan . Joitakin muita fysiikan väitteitä kutsutaan myös Shallin lauseeksi .

Formulaatiot

Lentokone

Mikä tahansa tason suuntaa säilyttävä liike on joko rotaatio (erityisesti keskussymmetria sekä identiteettikartoitus ) tai rinnakkaissiirto .

Mikä tahansa tason suuntaa muuttava liike on aksiaalinen tai liukuva symmetria .

Space

Mikä tahansa suuntaa säilyttävä tilan liike on liukuva käännös .

Mikä tahansa suuntaa muuttava tilan liike on peilisymmetrian ja liukuvan kiertoliikkeen yhdistelmä.

Todiste

Todistuksen tärkeimmät ajatukset:

Kaikki liikkeet määritellään yksilöllisesti kolmella eri pisteellä ja niiden kuvalla.
Mikä tahansa liike voidaan esittää enintään kolmen aksiaalisen symmetrian koostumuksella .
Vaihtoehtojen luettelo: liike voidaan esittää yhden, kahden tai kolmen aksiaalisymmetrian koostumuksella.

Kolmen kynnen lemma

Kaikki liikkeet määritellään yksiselitteisesti kolmella ei-makaavalla pisteellä ja niiden kuvilla. Toisin sanoen kaikilla epälineaarisilla pisteillä ja niiden kuvilla on ainutlaatuinen liike $A, B, C$ $A',B',C'$ $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Todiste

Ota mikä tahansa kohta ja sen kuva . - liike, mikä tarkoittaa ; josta seuraa, että sijaitsee ympyrän, jonka keskus on ja säde . $D\neq A,B,C$ $D'$ $f$ $AD=A'D'$ $D'$ $A'$ $ILMOITUS$

Samanlainen argumentti pisteitä ja osoittaa, että myös sijaitsee ympyrän kanssa keskus ja säde ja ympyrän kanssa keskus ja säde . $B$ $C$ $D'$ $B'$ $BD$ $C'$ $CD$

Koska kolme ympyrää, joiden keskipisteet eivät ole yhdellä suoralla, voivat leikata vain yhdessä pisteessä, jokaiselle pisteelle on ainutlaatuinen kuva . Tämä väite vastaa liikkeen ainutlaatuisuutta. $D'$ $D$

Lemma kolmella symmetrialla

Mikä tahansa liike voidaan esittää enintään kolmen aksiaalisen symmetrian koostumuksella . Toisin sanoen mikä tahansa liike voidaan esittää joko sellaisena tai sellaisena tai muodossa . $f$ ${\displaystyle S_{l))$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Todiste

Otetaan mielivaltainen liike ja pisteet kuvillaan . Jos todistamme, että on olemassa symmetrioiden kokoonpano, joka vastaa , Sitten kolmen kynnen lemma yleisessä tapauksessa. $f$ $A, B, C$ $A',B',C'$ $A, B, C$ $g$ $f$ $f = g$

Huomaa, että alkaen ja $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i }}$ $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}$ $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Etsitään esitys aksiaalisten symmetrioiden koostumuksen muodossa: $f$

Harkitse sellaista symmetriaa , että . Tällaisella symmetrialla piste joko siirtyy johonkin uuteen pisteeseen tai takaisin kohtaan . Piste menee samalla tavalla joko joillekin tai takaisin . Jos ja palasi arvoon ja , niin missä on identtinen muunnos . Siinä tapauksessa . $S_{l_{1))$ $A\mapsto A'$ $B$ ${\näyttötyyli B'_{1))$ $B'$ $C$ $C'_1$ $C'$ $B$ $C$ $B'$ $C'$ $S_{l_{1}}\circ f=Id$ $ID$ $f=S_{l_{1}}$
Nyt, jos kohta on , Harkitse symmetriaa siten, että . Huomaa, että on kohtisuorassa bisector segmenttiin , Aksiaalisymmetrian määritelmän mukaan. ${\displaystyle B\mapsto B'_{1))$ $S_{l_{2))$ $B'_{1}\mapsto B'$ $l_{2}$ ${\displaystyle B'B'_{1))$

$f$ , ovat liikkeitä, ja siten . Siksi sijaitsee kohtisuorassa bisector ja segmentti (jonka omaisuutta kohtisuorassa bisector), eli linjalla . Tästä seuraa, että muunnettaessa - . Jos , niin samoin , eli milloin menee . Muuten se tarkoittaa, että se siirtyy jälleen joko joillekin tai joillekin . Yhteensä, jos tai klo ; tai klo , sitten . Tämä tarkoittaa, että . $S_{l_{1))$ $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{u}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{ l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$ $A'$ ${\displaystyle B'B'_{1))$ $l_{2}$ $S_{l_{2))$ $A'\mapsto A'$ $C'\mapsto C$ $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$ $S_{l_{2))$ $C$ $C'$ ${\displaystyle C\mapsto C'_{1))$ $C'_1$ $C'_2$ $C'$ $C'_{1}\mapsto C'$ $S_{l_{2))$ $C\mapsto C'$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$

Jos , Harkitse symmetriaa siten, että . ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2))$ $S_{l_{3))$ $C'_{2}\mapsto C'$

Ilmeisesti on kohtisuorassa bisector segmenttiin . , , ovat liikkeitä, ja siten . Siksi kuuluu kohtisuoraan bisector segmenttiin , Eli . Tämä tarkoittaa, että se on käännetty . Jos , niin samoin . Muussa tapauksessa , siis myös sijaitsee . Tämä tarkoittaa, että käännettynä . Siksi , mikä tarkoittaa . $l_3$ $C'C'_{2}$ $f$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2))$ $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$ $A'$ $C'C'_{2}$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $A'$ $A'$ $B\mapsto B'$ $B'\in l_{3}$ $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$ $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ $B'$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $B'$ $B'$ $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Vaihtoehtoluettelo

Nyt jokainen annettu liike voidaan esittää enintään kolmen symmetrian koostumukseksi kolmen symmetrian lemmalla . $f$

Luokittelemme tuloksena olevan tasa-arvon ja luokittelemme siten minkä tahansa tietyn liikkeen:

Jos , niin on aksiaalinen symmetria . ${\displaystyle f=S_{l))$ $f$
Jos , niin joko ja sitten on rinnakkaiskäännös tai ja sitten on rotaatio . $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}\parallel l_{2))$ $f$ ${\displaystyle l_{1}\nrinnakkainen l_{2))$ $f$
Muuten ja sitten - liukuva symmetria (liukuvan symmetrian ominaisuuden mukaan). $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ $f$

Sovellukset

Hjelmslevin keskiarvo tarkoittaa lausetta

Lähteet

Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M . : Koulutus , 1991. - S. 228-229. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Challin lause ongelmissa
Lauseet liikekoostumuksesta