Fenchelin kaksinaisuuslause

Fenchelin kaksinaisuuslause on tulos saksalaisen matemaatikon Werner Fenchelin mukaan nimetystä konveksifunktioteoriasta .

Olkoon ƒ konveksi ominaisfunktio [ en ja g kovera ominaisfunktio . Sitten, jos säännöllisyysehdot täyttyvät, $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).

jossa on funktion ƒ konveksi konjugaatti (jota kutsutaan Fenchel-Legendre-muunnokseksi) ja on funktion g kovera konjugaatti . Tuo on, ${\displaystyle f^{\tähti ))$ ${\displaystyle g_{\tähti ))$

f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left (x\oikea)\oikea|x\in \mathbb {R} ^{n}\oikea\}

g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left( x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

Matemaattinen lause

Olkoot X ja Y Banach-avaruuksia ja konveksia funktioita ja rajattu lineaarinen kuvaus . Sitten Fenchelin ongelmat ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $A:X\to Y$

{\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\))

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{ *}(-y^{*})\}

tyydyttää heikko kaksinaisuus , eli . Huomaa, että ovat funktioiden f ja g konjugaatiot , vastaavasti, ja on adjoint-operaattori . Tämän kaksoisongelman häiriöfunktio saadaan kaavalla . $p^{*}\geqslant d^{*}$ ${\displaystyle f^{\tähti },g^{\tähti ))$ $A^{*}$ $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$

Oletetaan, että f , g ja A täyttävät jommankumman

f ja g ovat alempia puolijatkuvia ja , missä on algebrallinen sisäpuoli , ja missä h on jokin funktio, on joukko , tai $0\in \operatorname {core} (\operaattorinnimi {dom} gA\operaattorinnimi {dom} f)$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {core} }$ $\operaattorin nimi {dom} h$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \))$
$A\operaattorinimi {dom} f\cap \operaattorinimi {jatkuu} g\neq \emptyset$ , missä ovat pisteet, joissa funktio on jatkuva . $\operaattorin nimi {jatkuu}$

Sitten on vahva kaksinaisuus , eli . Jos , niin huippusumma saavutetaan [1] . $p^{*}=d^{*}$ $d^{*}\in \mathbb {R}$

Yksiulotteinen kuva

Kuvassa on esitetty minimointiongelma tasa-arvon vasemmalla puolella. Etsitään x :n arvoa siten, että pystysuora etäisyys kuperan ja koveran käyrän välillä x :ssä on mahdollisimman pieni. Pystyviivan sijainti kuvassa on (suunnilleen) optimaalinen.

Seuraava kuva havainnollistaa maksimointiongelmaa yllä olevan yhtälön oikealla puolella. Jokaiselle käyrälle piirretyillä tangenteilla on sama jyrkkyys p . Tavoitteena on tarkentaa p :n arvoa siten, että kaksi tangenttia ovat mahdollisimman kaukana toisistaan (tarkemmin sanottuna niin, että niiden leikkauspisteet y-akselin kanssa ovat mahdollisimman kaukana toisistaan). Mekaanisesti tangentit voidaan ajatella metallitankoina, jotka on yhdistetty pystysuorilla jousilla, jotka työntävät niitä erilleen, ja paraabelit rajoittavat tankojen asentoa.

Fenchelin lause sanoo, että näillä kahdella ongelmalla on sama ratkaisu. Pisteet, joissa on pienin pystysuora ero, ovat myös laajimpien rinnakkaisten tangenttien tangenttipisteitä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Borwein, Zhu, 2005 , s. 135-137.

Kirjallisuus

R. Tyrrell Rockafellar. Kupera analyysi. - Princeton University Press, 1996. - s. 327. - ISBN 0-691-01586-4 .
Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Variaatioanalyysin tekniikat. - Springer, 2005. - ISBN 978-1-4419-2026-3 .