Surffausteoria

Singulaarisuusteorian ja differentiaalitopologian rajalla Cerfin teoria tutkii tasaisten reaaliarvoisten funktioiden perheitä

f\colon M\to \mathbb {R}

tasaisella moninaisella , niiden tyypillisillä singulaarisuuksilla ja aliavaruuksien topologialla, jotka nämä singulariteetit määrittelevät funktioiden avaruuden aliavaruuksiksi. Teoria on nimetty Jaune Cerfin mukaan, joka aloitti teorian kehittämisen 1960-luvun lopulla. $M$

Esimerkki

Marston Morse osoitti, että jos se on kompakti, se toimii sujuvasti $M$

f\colon M\to \mathbb {R}

voidaan arvioida Morse-funktiolla . Siten mielivaltaiset funktiot voidaan moniin tarkoituksiin korvata Morse-funktioilla. $M$

Seuraavassa vaiheessa voidaan kysyä: "Jos sinulla on 1-parametrinen funktioperhe, joka alkaa ja päättyy Morse-funktioihin, voimmeko olla varmoja, että koko perhe koostuu Morse-funktioista?" Yleisesti vastaus on ei . Ajatellaanpa esimerkiksi perhettä

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx

1-parametrisena funktioperheenä . Hetkessä $M=\mathbb {R}$

t = -1

funktiolla ei ole kriittisiä pisteitä, ja tällä hetkellä

t = 1

funktio on Morse-funktio, jossa on kaksi kriittistä pistettä

x=\pm 1

Cerf osoitti, että yhden parametrin funktioperhe kahden Morse-funktion välillä voidaan approksimoida Morse-funktioiden perheellä vain rajallisella määrällä aikapisteitä. Degeneroituminen ilmenee kriittisten pisteiden ilmestymisenä/kadontamisena, kuten yllä olevassa esimerkissä.

Joukko äärettömän ulottuvuuden avaruutta

Palataan yleiseen tapaukseen, kun on kompakti jakotukki. Olkoon Morse-funktioiden avaruus $M$ $\operaattorin nimi {Morse} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R} \,

a tarkoittaa tasaisten funktioiden tilaa $\operaattorin nimi {Func} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R}

Morse todisti sen

{\näyttötyyli \operaattorin nimi {Morse} (M)\alajoukko \operaattorin nimi {Func} (M)}

on avoin ja tiheä topologiassa . $C^\infty$

On olemassa intuitiivinen analogia. Tarkastellaan Morsen toimintaa avoimena kuituna, jolla on maksimimittaus nipussa (emme väitä, että tällainen nippu on olemassa, mutta oletamme, että se on). Huomaa, että kuituavaruudessa koodimension 0 avoin kuitu on avoin ja tiheä. Merkinnän yksinkertaistamiseksi käännämme sopimukset nippujen indeksoinnista kuituavaruudessa ja indeksoimme avoimen kerroksen ei sen mitan, vaan sen koodiulottuvuuden perusteella. Tämä on kätevämpää, koska se on ääretön, jos se ei ole äärellinen joukko. Oletuksena avaruuden koodimension 0 avoin kerros on , eli . Kerrostetussa tilassa se on usein irti. Koodimension 1 :n kerroksen olennainen ominaisuus on, että mikä tahansa polku sisään , joka alkaa ja päättyy pisteeseen , voidaan approksimoida polulla, joka leikkaa kohtisuorassa rajallisessa määrässä pisteitä ja ei leikkaa yhtään . $\operaattorin nimi {Func} (M)$ $\operaattorin nimi {Func} (M)$ $M$ $\operaattorin nimi {Func} (M)$ $\operaattorin nimi {Morse} (M)$ $\operaattorin nimi {Func} (M)^{0}=\operaattorin nimi {Morse} (M)$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ $X^{i}$ $i>1$

Tällöin Cerfin teoria on teoria, joka tutkii kerroksia , joilla on positiivinen koodimension, eli . Kun $\operaattorin nimi {Func} (M)$ ${\displaystyle \operaattorin nimi {Func} (M)^{i))$ $i>0$

f_{t}(x)=x^{3}-tx

vain funktiolle ei ole Morse-funktio ja $t = 0$

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{3))

sillä on kuutiometrinen rappeutunut kriittinen piste , joka vastaa singulaarisuuden ilmaantumista/kadomista.

Ainoa parametri (aika), lauseen

Morse-lause sanoo, että jos on Morse-funktio, niin lähellä kriittistä pistettä se on konjugoitu muodon funktioon $f\colon M\to \mathbb {R}$ $s$ $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2} x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

missä . ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\))$

Cerfin lause 1-parametriperheelle vahvistaa kodiulotteisen kuidun olennaisen ominaisuuden .

Nimittäin, jos on 1-parametrinen tasaisten funktioiden perhe c :llä ja ovat Morse-funktioita, silloin on olemassa sileä 1-parametrinen perhe , joka on tasaisesti lähellä funktioiden intopologiaa . Lisäksi ovatko Morse-funktioita vain rajallinen määrä pisteitä. Kohdissa, joissa funktio ei ole Morse-funktio, funktiolla on vain yksi rappeutunut kriittinen piste , ja lähellä tätä pistettä perhe on konjugoitu perheeseen $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $t\in [0,1]$ ${\displaystyle f_{0},f_{1))$ $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1))$ $F$ $f$ $C^k$ $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ $F_t$ $s$ $F_t$

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1 }+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

missä . Jos , tämä on 1-parametrinen funktioperhe, jossa luodaan kaksi kriittistä pistettä (as) kasvaa , ja tämä on 1-parametrinen perhe, josta kaksi kriittistä pistettä katoaa. $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ $\epsilon _{1}=-1$ $t$ $\epsilon _{1}=1$

Origins

Palloittain lineaarisen - Schoenfliesin ongelman ratkaisi JW Alexander vuonnaMorse ja Bayad [1] sovittivat hänen todisteensa sujuvaa tapausta varten . Olennaista ominaisuutta käytti Cerf todistaakseen, että mikä tahansa orientaatiota säilyttävä diffeomorfismi on isotooppi identiteettiin [2] , jota pidetään Schoenfliesin lauseen 1-parametrin laajennusna. Seurausoli tuolloin laajalti käytössä differentiaalitopologiassa. Cerf käytti myöhemmin tätä olennaista ominaisuutta todistaakseen pseudoisotoopialauseen [3] moniulotteisille yksinkertaisesti yhdistetyille monistoille. Todistus on 1-parametrinen laajennus Smalen todistuksesta h-kobordismin lauseesta (Morse, samoin kuin Milnor [4] ja Cerf-Gramain-Maurin [5] kirjoittivat Smaleen todistuksen uudelleen funktionaalisen konseptin suhteen, seuraten hänen ehdotusta. Tom). $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\Gamma _{4}=0$

Cerfin todiste perustuu Tomin ja Matherin työhön [6] . Hyödyllinen nykyaikainen katsaus Tomin ja Matherin työhön on Glubitskyn ja Guilmanin kirja [7] .

Sovellukset

Yllä olevien sovellusten lisäksi Robion Kirby käytti Cerfin teoriaa avainaskeleena Kirbyn laskennan perusteluissa .

Yleistys

Sergeraer kehitti lopulta Sergeraerin [8] . ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \))$

1970-luvulla Hatcher ja Wagoner [9] ratkaisivat 1970-luvulla algebralliset tuhot kohdista ( ) ja ( ) sekä Kiyoshi Igusa, joka löysi $K_{i}$ tuhoja . samankaltainen ( ) [10] . $\pi _{1}M$ $i=2$ $\pi _{2}M$ $i=1$ $\pi _{1}M$ $i=3$

Muistiinpanot

↑ Morse, Baiada, 1953 , s. 142-165.
↑ Cerf, 1968 .
↑ Cerf, 1970 , s. 5–173.
↑ Milnor, 1965 .
↑ Cerf, Gramain, 1968 .
↑ Mather, 1969 .
↑ Golubitsky, Guillemin, 1973 .
↑ Sergeraert, 1972 , s. 599–660.
↑ Hatcher, Wagoner, 1973 .
↑ Igusa, 1988 , s. vi+355.

Kirjallisuus

Marston Morse , Emilio Baiada Homotopia ja homologia liittyen Schoenfliesin ongelmaan // Annals of Mathematics . - 1953. - T. 58 . — S. 142–165 . - doi : 10.2307/1969825 .
Mather J. R-algebroiden stabiilien bakteerien luokittelu // Publ. Matematiikka. IHES. – 1969.
Golubitsky M., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities. - Springer-Verlag, 1973. - V. 14. - (Matematiikan tutkinnon tekstit).
Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois ( ). - Berliini-New York: Springer-Verlag, 1968. - V. 53. - (Matematiikan luentomuistiinpanot). $\Gamma _{4}=0$
Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1970. - T. 39 . - S. 5-173 .
Milnor J. Luennot h-kobordismilauseesta, L.Siebenmannin ja J.Sondowin huomautukset. - Princetonin matematiikka. Muistiinpanot, 1965.
Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) . - Ecole Normale Superieure, 1968.
Sergeraert F. Implisiittisten implisiittisten toimintojen teoreema Fréchet- ja quelques-sovellusten välillä // Ann. sci. Ecole standardi. Sup .. - 1972. - V. 5 , no. 4 .
Allen Hatcher, John Wagoner. Kompaktien jakoputkien pseudo-isotoopiat // Asterisque. - Paris: Société Mathematique de France, 1973. - Voi. 6 .
Igusa K. Vakauslause tasaisille pseudoisotoopiaille. K-Theory 2. - 1988. - Numero. 1-2 .