Eksoottinen Orb

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Eksoottinen pallo on sileä monisto M , joka on homeomorfinen mutta ei diffeomorfinen standardin n -pallon kanssa .

Historia

Ensimmäiset esimerkit eksoottisista palloista rakensi John Milnor ulottuvuudessa 7; hän osoitti, että on olemassa vähintään 7 erillistä sileää rakennetta. Nyt tiedetään, että orientoidussa on 28 erilaista sileää rakennetta (15 ilman orientaatiota). $S^{7}$ $S^{7}$

Näitä esimerkkejä, niin sanottuja Milnor-palloja , on löydetty avaruusnippujen joukosta . Tällaiset niput luokitellaan kahdella kokonaisluvulla ja elementillä . Jotkut näistä nipuista ovat homeomorfisia standardipallolle, mutta eivät diffeomorfisia sille. $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $a$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ $M_{a,b}$

Koska ne ovat yksinkertaisesti yhteydessä toisiinsa, yleistetyn Poincaren arvelun mukaan homeomorfismin tarkistaminen ja rajoittuu homologian laskemiseen ; tämä ehto asettaa tiettyjä ehtoja ja . $M_{a,b}$ $M_{a,b}$ $S^{7}$ $M_{a,b}$ $a$ $b$

Ei-diffeomorfismin todistuksessa Milnor väittää ristiriitaisesti . Hän huomaa, että jakotukki on 8-ulotteisen jakotukin raja - levynipun tila yli . Lisäksi, jos se on diffeomorfinen standardipallon kanssa, se voidaan liimata pallolla, jolloin saadaan suljettu sileä 8-jakotukki. Tuloksena olevan moniston allekirjoituksen laskeminen sen Pontryagin-lukujen perusteella johtaa ristiriitaan. $M_{a,b}$ ${\näyttötyyli W_{a,b))$ ${\displaystyle D^{4))$ ${\displaystyle S^{4))$ $M_{a,b}$ ${\näyttötyyli W_{a,b))$

Luokitus

Kahden eksoottisen n -ulotteisen pallon yhdistetty summa on myös eksoottinen pallo. Yhdistetty summaoperaatio muuttaa orientoidun n - ulotteisen pallon erilaiset sileät rakenteet monoidiksi , jota kutsutaan eksoottisten pallojen monoidiksi .

n ≠ 4

Sillä tiedetään, että eksoottisten sfäärien monoidi on Abelin ryhmä , jota kutsutaan eksoottisten sfäärien ryhmäksi . $n\neq 4$

Tämä ryhmä on triviaali . Toisin sanoen näissä ulottuvuuksissa homeomorfismin olemassaolo standardisfäärille merkitsee diffeomorfismin olemassaoloa . Sillä , se on isomorfinen sykliselle ryhmälle järjestyksessä 28. Toisin sanoen on olemassa 7-ulotteinen eksoottinen pallo siten, että mikä tahansa 7-ulotteinen eksoottinen pallo on diffeomorfinen useiden kappaleiden yhdistetylle summalle ; lisäksi yhdistetty 28 kopion summa on erilainen kuin standardipallo . $n=1,2,3,5,6$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n = 7$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $S^{7}$

Eksoottisten pallojen ryhmä on isomorfinen homotopian n -pallon orientoituneiden h -kobordismiluokkien ryhmän Θ n kanssa . Tämä ryhmä on rajallinen ja abelilainen.

Ryhmällä on syklinen alaryhmä $\Theta_n$

bP_{n+1}

vastaavat -palloja, jotka rajoittivat rinnakkaisia monistoja . $n$

Jos n on parillinen , niin ryhmä on triviaali, $bP_{n+1}$
Jos , niin ryhmällä on järjestys 1 tai 2 $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- Sen järjestys on 1, kun n = 1, 5, 13, 29 tai 61.
- Siinä on tilaus 2 klo , jos samaan aikaan $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Jos , Eli , Silloin kun järjestys on yhtä suuri $n\equiv 3{\pmod {4}}$ ${\näyttötyyli n+1=4m}$ $m\geq 2$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

missä on murtoluvun osoittaja , ovat Bernoullin luvut . (Joskus kaava on hieman erilainen Bernoulli-lukujen eri määritelmien vuoksi.)

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2m}}

Tekijäryhmät on kuvattu pallojen stabiileilla homotoopiaryhmillä, jotka moduloivat J-homomorfismin kuvaa ). Tarkemmin sanottuna on olemassa injektiivinen homomorfismi $\Theta _{n}/bP_{n+1}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

missä on n:s stabiili sfäärien homotoopiaryhmä, ja se on J - homomorfismin kuva . Tämä homomorfismi on joko isomorfismi tai sillä on kuva indeksistä 2. Jälkimmäinen tapahtuu, jos ja vain jos on olemassa n - ulotteinen rinnakkaistava monisto Kervairen invariantin 1 kanssa. ${\displaystyle \pi _{n}^{S))$ $J$

Kysymystä tällaisen jaon olemassaolosta kutsutaan Kerver-ongelmaksi. Vuodesta 2012 lähtien sitä ei ole ratkaistu vain tapauksen osalta . Jakotukit Kervairen invariantilla 1 rakennettiin mitoissa 2, 6, 14, 30 ja 62. $n=126$

Mitta n	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista	16	17	kahdeksantoista	19	kaksikymmentä
Tilaa Θn	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	28	2	kahdeksan	6	992	yksi	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Tilaa bP n +1	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	28	yksi	2	yksi	992	yksi	yksi	yksi	8128	yksi	2	yksi	261632	yksi
Järjestys Θ n / bP n +1	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	2	2×2	6	yksi	yksi	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Tilaus π n S / J	yksi	2	yksi	yksi	yksi	2	yksi	2	2×2	6	yksi	yksi	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Indeksi	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Tämän taulukon lisäarvot voidaan laskea yllä olevista tiedoista sekä taulukosta stabiileista homotoopiapalloryhmistä.

Parittomissa mitoissa palloilla ja vain niillä on yksi sileä rakenne. Wang & Xu (2017 ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$

n = 4

Dimensiossa sileiden pallojen monoidista ei tiedetä käytännössä mitään, paitsi että se on äärellinen tai laskettavasti ääretön ja Abelin. Ei tiedetä, onko 4-pallolla eksoottisia sileitä rakenteita. Väite, että niitä ei ole olemassa, tunnetaan "sileänä Poincarén arveluna". $n=4$

Niin kutsuttu Gluck-kierre koostuu 2-pallon S 2 : n putkimaisen alueen leikkaamisesta S 4 :ssä ja sen liittämisestä takaisin sisään käyttämällä sen rajan diffeomorfismia . Tulos on aina homeomorfinen S 4 : n kanssa, mutta useimmissa tapauksissa ei tiedetä, onko se diffeomorfinen S 4 : n kanssa . $S^{2}\times S^{1}$

Twisted Spheres

Olkoon annettu diffeomorfismi, joka säilyttää orientaation. Liimaamalla kaksi kopiota palloa kartoitusta pitkin rajojen väliin, saadaan ns. pallo, joka on täynnä diffeomorfismia . Kierretty pallo on homeomorfinen standardipallon kanssa, mutta yleisesti ottaen se ei ole diffeomorfinen sille. $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ $f$ $f$

Toisin sanoen monistoa kutsutaan kierretyksi palloksi, jos se hyväksyy Morse-funktion , jossa on täsmälleen kaksi kriittistä pistettä.

Arvolla n ≠ 4 mikä tahansa eksoottinen pallo on erilainen kuin jokin kierretty pallo.
Arvolla n = 4 mikä tahansa kierretty pallo on erilainen kuin standardi.

Katso myös

Linkit

Akbulut, Selman (2009), Cappell–Shaneson-homotoopiapallot ovat vakiona , arXiv : 0907.0136
Brieskorn, Egbert V. (1966), "Esimerkkejä yksittäisistä normaaleista kompleksiavaruuksista , jotka ovat topologisia monimuotoisia", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR 49719 , PMC 224331 , PMID 16578636
Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Matematiikka. 2 (1): 1–14, doi : 10.1007/BF01403388 , MR 0206972
Browder, William (1969), "Kervairen invariantti kehystettyjen monistojen ja sen yleistäminen", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR 1970686 , MR 0251736
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Ihminen ja kone ajattelevat tasaista 4-ulotteista Poincarén arvelua", Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5
Gluck, Herman (1962), "The embedding of two-spheres in the four-sphere", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR 1993581 , 6MR 6807014
Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes in Mathematics 57 , Berlin-New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/ BFb0074355 MR250spheres29, monimutkaisten monistojen singulariteetit .
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). "Homotopiapallojen ryhmät: I" (PDF). Annals of Mathematics ( Princeton University Press ) 77 (3): 504–537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . MR 0148075 . – Tässä artikkelissa kuvataan tasaisten rakenteiden ryhmän rakennetta n - pallolla, kun n >4. Valitettavasti aiemmin julkistettua artikkelia "Groups of Homotopy Spheres: II" ei koskaan julkaistu, mutta Levinin luentomateriaalit sisältävät sen, mitä se ilmeisesti olisi voinut sisältää.
Levine, JP (1985), "Luennot homotopiapallojen ryhmistä", Algebrallinen ja geometrinen topologia , Matematiikan luentomuistiinpanot 1126 , Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , MR 8757031
Milnor, John W. (1956), "7-pallon homeomorfisista monista", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR 1969983 , MR 0082103
- J. Milnor. Seitsedimensionaaliseen palloon homeomorfisista monista // Matematiikka . - 1957. - Nro 3 . - S. 35-42 .
Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères" , Bulletin de la Société Mathématique de France 87 : 439–444, MR 0117744
Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structures on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR 2372998 , MR 0110107
Milnor, John (2000), "Classification of ( n − 1)-connected 2 n -dimensional monitore and the discovery of exotic spheres", Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528
Milnor, John Willard (2009), "Fifty years ago: topology of monifolds in the 50's and 60's", kirjassa Mrowka, Tomasz S.; Ozsvath., Peter S., Low dimensional topology. Luentomuistiinpanot 15. Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer Schoolista, joka pidettiin Park Cityssä, UT, kesällä 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15 , Providence, R.I.: Amer. Matematiikka. Soc., s. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Milnor, John W. (2011), "Differentiaalitopologia neljäkymmentäkuusi vuotta myöhemmin" (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor sphere" (linkki ei saatavilla) , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Wang, Guozhen & Xu, Zhouli (2017), 61-varren triviaalisuus sfäärien stabiileissa homotoopiaryhmissä , Annals of Mathematics , osa 186 (2): 501–580 , DOI 10.4007/annals.2017.386 .

Ulkoiset linkit

Exotic Orbs on Manifold Atlas (downlink 06-05-2016 [2373 päivää])
Eksoottisia maailmoja. Eksoottisiin maailmoihin liittyvät lähdemateriaalit.
Animaatioita ja todella eksoottisia 7-palloa - video Niles Johnsonin puheesta toisesta Abel-konferenssista .
Gluck_construction