Ylä- ja alamäet

Maksimien ja minimien identtisyys on  matemaattinen suhde äärellisen lukujoukon maksimialkion ja sen kaikkien ei-tyhjien osajoukkojen minimialkioiden välillä .

Sanamuoto

Antaa olla  mielivaltaisia ​​reaalilukuja . Sitten identiteetti sanoo:

Samanlainen suhde pätee, jos minimit ja maksimit vaihdetaan:

Todiste

Todistakaamme esimerkiksi ensimmäinen yllä olevista suhteista.

Huomaa, että jos korvaamme , jossa on mielivaltainen luku, niin todistettavan suhteen molemmat osat muuttuvat myös muotoon .

Todellakin, vasen puoli:

Oikea osa:

Toinen termi on täsmälleen yhtä suuri kuin , johtuen binomikertoimien hyvin tunnetusta ominaisuudesta :

Korvataan nyt kaikki , missä . Yllä olevien näkökohtien perusteella joukon relaatio täyttyy, jos ja vain, jos joukon relaatio täyttyy . Mutta samaan aikaan kaikki ja yksi tai useampi joukon numerot ovat yhtä suuret .

Jos kaikki , suhde on ilmeisesti pätevä.

Harkitse tapausta, kun ei kaikki . Olkoon, varmuuden vuoksi , ja . Sitten, kuten on helppo nähdä, kaikki nollat ​​voidaan sulkea pois yhtälöstä, joka siten tulee

Näin ollen olemme vähentäneet lukujen suhdetta vastaavaan pienempään määrään lukuja. Tästä seuraa matemaattisen induktion periaatteen nojalla, että alkuperäinen suhde on totta kaikille luonnollisille .

Katso myös